正数数列{an}中Sn=1/2(an+1/an)(1)求a1,a2,a3(2)猜想an的表达式并证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/08 05:27:45
正数数列{an}中Sn=1/2(an+1/an)(1)求a1,a2,a3(2)猜想an的表达式并证明
(1)a1=S1=1/2(a1+1/a1) 解得a1=1
S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2 解得a2=√2-1
S3=1/2(a3+1/a3)=a1+a2+a3 解得a3=√3-√2
(2)猜想an=√n-√(n-1)
证明:①当n=1时,S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1,命题成立
②假设n=k时,命题成立,即ak=√k-√(k-1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)]
即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k
即a(k+1)^2+2√k-1=0(解一元二次方程)
解得a(k+1)=√(k+1)-√k(舍去负根),命题也成立
综上,an=√n-√(n-1)
下面是我的解法:
Sn=1/2(an+1/an)①
S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②
①-②,得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1))
即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0
an^2+2S(n-1)an -1=0
由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)]
代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1)
Sn^2=S(n-1)^2+1
所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列
Sn^2=n即Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
S2=1/2(a2+1/a2)=a1+a2 解得a2=√2-1
S3=1/2(a3+1/a3)=a1+a2+a3 解得a3=√3-√2
(2)猜想an=√n-√(n-1)
证明:①当n=1时,S1=a1=1,1/2(a1+1/a1)=1,命题成立
②假设n=k时,命题成立,即ak=√k-√(k-1)
则当n=k+1时,
a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2[a(k+1+1/a(k+1)-ak-1/ak)]
即a(k+1)-1/a(k+1)=-(ak+1/ak)=-2√k
即a(k+1)^2+2√k-1=0(解一元二次方程)
解得a(k+1)=√(k+1)-√k(舍去负根),命题也成立
综上,an=√n-√(n-1)
下面是我的解法:
Sn=1/2(an+1/an)①
S(n-1)=1/2(a(n-1)+1/a(n-1))②
①-②,得an=1/2(an-a(n-1)+1/an-1/a(n-1))
即an+(a(n-1)+1/a(n-1))-1/an=0
an^2+2S(n-1)an -1=0
由an>0解得an=√(S(n-1)^2+1)-S(n-1)=1/[√(S(n-1)^2+1)+S(n-1)]
代入①式得Sn=√(S(n-1)^2+1)
Sn^2=S(n-1)^2+1
所以{Sn^2}为首项1公差为1的等差数列
Sn^2=n即Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)
在数列{an}中,a1=13,且Sn=n(2n-1)an,通过求a2,a3,a4,猜想an的表达式( )
数列an中,Sn=4-an-1/2^(n-2),求a1,a2,a3,a4并猜想an的表达式
已知数列an中,an>0,且Sn=1/2*(an+1/an),求a1,a2,a3,猜想通项公式,并加以证明.
数列{an}中,已知a1=2,an+1=an/3an+1(n∈N*),求a2,a3,a4猜想an的通项公式,并给予证明.
在数列{an}中,已知a1=1/3,a1+a2+.+an/n=(2n-1)an (1)求,a2,a3,a4,并猜想an的
在数列{an}中,a1=a+1/a(a>0),a(n+1)=a1-1/an(1)求a2,a3的值,并猜想an表达式(2)
在各项为正的数列An中 ,Sn=0.5(An+1/An) 求A1 ,A2 ,A3 猜想An的通项公式 用数学归纳法证明
已知正项数列an满足Sn=1/2(an+1/an),求出a1.a2.a3.a4,并推测出通项an的表达式.
设数列{an}的前n项和为Sn,并且满足2Sn=an²+n,an>0.(1)求a1,a2,a3.(2)猜想{a
Sn=1/2(an+1/an) Sn是前n项和 求a1,a2,a3.猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明
11.在数列an中,a1=2,点(an,an+1)在函数f(x)=2x/1+x的图像上,求a2,a3,a4的值并猜想an
在数列an中an大于0,且前n项Sn=1/2(an+1/an),计算a1,a2,a3,猜测an的表达式,用数学归纳法证明