求定积分,其下限为ln2,上限为2ln2, ∫[1/√(e^x -1)]dx,答案是π/6.帮看看

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 04:33:48

求定积分,其下限为ln2,上限为2ln2,

∫[1/√(e^x -1)]dx,答案是π/6.帮看看是我错了还是答案错了

首先,你在换元后没有转换积分限
其次,x = ln(1 + u^2),dx = 2u/(1 + u^2) du,并不是你写的2/u du
Let u^2 = e^x - 1 then 2u du = e^x dx
when x = ln2,u = sqrt(e^ln2 - 1) = sqrt(2 - 1) = 1
when x = 2ln2,u = sqrt(e^2ln2 - 1) = sqrt(e^ln4 - 1) = sqrt(4 - 1) = sqrt(3)
integrate(ln2->2ln2) 1/sqrt(e^x - 1) dx
= integrate(1->sqrt(3)) 1/u * 2u/e^x du
= integrate(1->sqrt(3)) 2/(u^2 + 1) du
= 2arctan(u) |(1->sqrt(3))
= 2arctan(sqrt(3)) - 2arctan(1)
= 2Pi/3 - 2Pi/4
= Pi/6
再问：能再写一遍吗，写通俗点，好多符号不认识。不过我知道错哪了。
再答：首先是积分限没转换过 u = √(e^x - 1) 当x = ln2时，u = √(e^ln2 - 1) = √(2 - 1) = 1 当x = 2ln2 = ln4时，u = √(e^ln4 - 1) = √(4 - 1) = √3 e^x = u^2 + 1 ln(e^x) = ln(u^2 + 1)，这里两边都取对数，你可有做到？ x = ln(u^2 + 1)，两边微分 dx = 2u/(u^2 + 1) du
再问：我已经理解了，非常感谢哦！
再答：学懂就好，希望你也能延续这种帮人的精神..

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