作业帮高二数学题一道,求高手半小时内完成.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 19:39:14
高二数学题一道,求高手半小时内完成.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.
（1）求证A=2A（n-1)+1(n>=2)
（2）求数列{An}通项公式.
（3）求数列{An}的前n项和Sn.
要详细过程,谢谢
第一问有误，应为。
（1）求证An=2A（n-1)+1(n>=2)
已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.
（1）求证A=2A（n-1)+1(n>=2)
（2）求数列{An}通项公式.
（3）求数列{An}的前n项和Sn.
要详细过程,谢谢
第一问有误，应为。
（1）求证An=2A（n-1)+1(n>=2)
(1)对任意正整数n,An是n与Sn的等差中项,于是对任意n>=2：
2An= n + Sn
2A(n-1)=（n-1)+S（n-1）
两式相减得：
2An-2A(n-1)=1+An
整理得：
An=2A（n-1)+1 (n>=2)
（2）An=2^n-1,数学归纳法证明如下：
首先,n=1时,A1=S1
因此：2A1=1+A1,
A1=1=2^1-1 ,成立
如果n=k时,Ak=2^k-1成立
则n=k+1时,A(k+1)=2Ak+1=2(2^k-1)=2^(k+1)-2+1=2^(k+1)-1
成立!
于是An=2^n-1得证
（3）Sn=Sigma(2^n-1)
=Sigma(2^n)-n
=(2(1-2^n)/(1-2))-n
=2^(n+1)-2-n
2An= n + Sn
2A(n-1)=（n-1)+S（n-1）
两式相减得：
2An-2A(n-1)=1+An
整理得：
An=2A（n-1)+1 (n>=2)
（2）An=2^n-1,数学归纳法证明如下：
首先,n=1时,A1=S1
因此：2A1=1+A1,
A1=1=2^1-1 ,成立
如果n=k时,Ak=2^k-1成立
则n=k+1时,A(k+1)=2Ak+1=2(2^k-1)=2^(k+1)-2+1=2^(k+1)-1
成立!
于是An=2^n-1得证
（3）Sn=Sigma(2^n-1)
=Sigma(2^n)-n
=(2(1-2^n)/(1-2))-n
=2^(n+1)-2-n