作业帮一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC,而不是C,这不会对结果产生影响吗?
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 10:25:36
一阶非齐次线性微分方程的通解为什么会出现一个lnC,而不是C,这不会对结果产生影响吗?
难道这个常数C可以写成任何形式吗?
难道这个常数C可以写成任何形式吗?
C表示任意一个常数,lnC也表示任意一个常数,所以也是可以的.任何一个能表示任意一个常数的表示形式都是允许的,对结果都不会产生影响.但是,在解一阶非齐次线性微分方程的通解时,为什么会出现一个lnC哪?
这是因为,一阶非齐次线性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x),往往不好直接解出,而用常数变易法,先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后把常数变易为函数,代入非齐次线性微分方程求的一个特解,最后把对应的齐次线性微分方程的通解加上求得的特解,作为非齐次线性微分方程的通解.
但是对应的齐次线性微分方程为：y'+P(x)y=0 解时变成：
dy/y=-P(x)dx 两端积分得：lny=-∫P(x)dx
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+C,则 y=e^[-R(x)+c] ,不但形式复杂,而且不便于常数变易.
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+lnC,则y=Ce^[-R(x)],不但形式紧凑,而且便于常数变易.因为C(x)与e^x乘积型不仅好微分,而且微分后结果简单.这就是不取常数C,而取lnC的原因.
这是因为,一阶非齐次线性微分方程形如：y'+P(x)y=Q(x),往往不好直接解出,而用常数变易法,先求对应的齐次线性微分方程的通解,然后把常数变易为函数,代入非齐次线性微分方程求的一个特解,最后把对应的齐次线性微分方程的通解加上求得的特解,作为非齐次线性微分方程的通解.
但是对应的齐次线性微分方程为：y'+P(x)y=0 解时变成：
dy/y=-P(x)dx 两端积分得：lny=-∫P(x)dx
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+C,则 y=e^[-R(x)+c] ,不但形式复杂,而且不便于常数变易.
假如积分部分积分出的原函数写为：R(x)+lnC,则y=Ce^[-R(x)],不但形式紧凑,而且便于常数变易.因为C(x)与e^x乘积型不仅好微分,而且微分后结果简单.这就是不取常数C,而取lnC的原因.