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如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/03 18:56:34
如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且tanθ= 。
（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ADE；
（Ⅱ）记AC=x，V(x)表示三棱锥A-CBE的体积，求V(x)的表达式；
（Ⅲ）当V(x)取得最大值时，求二面角D-AB-C的大小。
（Ⅰ）证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE，
∵DC⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴DC⊥BC，
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC且DC∩AC=C，
∴BC⊥平面ADC，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC，
又∵DE 平面ADE，
∴平面ACD⊥平面ADE。
（Ⅱ）∵DC⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC，
∴∠EAB为AE与平面ABC所成的角，即∠EAB =θ，
在Rt△ABE中，由 ，AB=2得 ，
在Rt△ABC中，
∵ （0＜x＜2），
∴ ，
∴ （0＜x＜2）。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知0＜x＜2， 要取得最大值，
当且仅当 取得最大值，
∵ 当且仅当 ，
即 时，“=”成立，
∴当 取得最大值时， ，这时△ACB为等腰直角三角形，
连结CO，DO，
∵AC=BC，DC=DC，
∴ ≌ ，
∴AD=DB，
又∵O为AB的中点，
∴CO⊥AB，DO⊥AB，
∴∠DOC为二面角D-AB-C的平面角，
在Rt△DCO中，∵ ， ，
∴ ，
∴∠DOC =60°，
即当 取得最大值时，二面角D-AB-C为60°。
（2013•湖南模拟）如图所示，已知△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC， （2014•汕头二模）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2 如图,已知△ABC内接于圆O,AE为直径,AD为BC上的高.求证:AB·AC=AE·AD 已知,如图,△ABC内接于园O,AB为非直径的弦,∠CAE=∠B,求证：AE与圆O相切于点A 如图,己知PA垂直于平面ABC,AB是圆O的直径,C是圆O上任意一点,求证 平面PAC垂直于平面 已知:如图,△ABC内接于圆O,弦AD与BC垂直,AE是圆O的直径.求证:∠BAE=∠CAD 三角形ABC内接于圆O,其中AB为圆O的直径,PA垂直于平面ABC,AC=BC=2,PA=AB,求直线PB和平面PAC所 如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C的切线与AB的延长线相交于点D，AE⊥DC交DC于点E． 如图,△ABC内接于圆O,AD垂直于BC于点D,AE是圆O的直径,试证明:AB*AC=AD*AE 已知PA垂直与平面ABC,AB是圆o的直径,C是圆o上的任一点 如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,CD平分∠ACB交⊙O于点D,交AB于点F,弦AE⊥CD于点H,连接CE、O 如图,在△ABC中,已知角ABC=90°,AB上一点E,以BE为直径的圆O恰与AC相切于点D,若AE=2cm,AD=4c