设f(x)=|x^2-2x|求具体过程

设f(x)=|x^2-2x|求具体过程
1.确定f(f(x))=1根的个数
2.若关于x的方程f^2(x)-mf(x)+2m-3=0有六个不同实根,求m取值范围.注意^2是平方的意思

f(x)=1
|x²-2x|=1
(x-1)²=±1+1=0或2
x=1或x=1±√2
所以方程f(f(x))=1全等于方程f(x)=1或1±√2
即|x^2-2x|=1或1±√2
方程|x^2-2x|=1的根为x=1或x=1±√2,共3个根

1-√2<0,方程|x^2-2x|=1-√2无实数根
方程|x^2-2x|=1+√2
x²-2x=±(1+√2)
(x-1)²=2+√2或-√2
(x-1)²=2+√2
x=1±√(2+√2),共2个根,且均与1、1±√2不相等.
所以原方程f(f(x))=1共有5个实数根

[f(x)]² -mf(x) +2m-3=0
[f(x)- (m/2)]² = (m²/4) -2m +3
因为关于x的原方程有六个不同实根,
所以关于f(x)的原方程必有两个不同实根,且均不小于0.
所以(m²/4) -2m +3 > 0
m²-8m+12>0
(m-2)(m-6)>0
m<2或m>6
原方程即：

|x²-2x| = f(x) = (m/2) ±√[(m²/4) -2m +3] = 1/2[ m±√(m²-8m+12) ]
即:2|x²-2x| = m±√(m²-8m+12) (m<2或m>6)有6个不同的实数根
所以m-√(m²-8m+12)≥0 (m<2或m>6)
m≥√(m²-8m+12) (0≤m<2或m>6)
m²≥m²-8m+12 (0≤m<2或m>6)
8m≥12 (0≤m<2或m>6)
所以,1.5≤m<2或m>6

所以,2|x²-2x| = m±√(m²-8m+12)  (1.5≤m<2或m>6)有6个不等实数根
当m-√(m²-8m+12)=0即m=1.5时,
方程2|x²-2x| = m-√(m²-8m+12) 即2|x²-2x|=0有两个实数根x=0及x=2.
方程2|x²-2x| = m+√(m²-8m+12) 即2|x²-2x|=3即x²-2x=±3/2即(x-1)²=2.5或-0.5,有两个不相等实根x=1±√2.5
所以,此时,原方程只有4个不同的实根,不合题意,排除.

当1.5<m<2或m>6时,
2(x²-2x) = m±√(m²-8m+12) 或 -m±√(m²-8m+12)
2(x-1)² = 2+m±√(m²-8m+12) 或 2-m±√(m²-8m+12)
因为此时,m+√(m²-8m+12)≥m-√(m²-8m+12)≥0
所以2+m±√(m²-8m+12)≥2>0

所以方程2(x-1)² = 2+m±√(m²-8m+12)有四个实数根.
要使原方程有6个实数根,则方程2(x-1)² = 2-m±√(m²-8m+12)有两个实数根.
所以[2-m+√(m²-8m+12)] [2-m-√(m²-8m+12)]<0 (1.5<m<2或m>6)

-√(m²-8m+12) < 2-m < √(m²-8m+12) (1.5<m<2或m>6)
(2-m)² < (m²-8m+12) (1.5<m<2或m>6)
m²-4m+4 < m²-8m+12 (1.5<m<2或m>6)
4m<8 (1.5<m<2或m>6)
所以,1.5<m<2
所以m的取值范围为(1.5,2)