求高手推导抛物线焦点弦长公式

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 00:18:06

求高手推导抛物线焦点弦长公式
求推导AB=2p/sin²a（a为过焦点直线的倾斜角）

/>（1）当直线的斜率不存在时,即a=90°
xA=xB=p/2
∴ yA=p,yB=-p
∴ |AB|=2p=2p/sin²90°
（2）当直线斜率存在时,k=tana
直线方程是y=k(x-p/2)
代入抛物线方程y²=2px
则k²(x-p/2)²=2px
∴ k²x²-(k²p+2p)x+k²p²/4=0
利用韦达定理,则xA+xB=(k²p+2p)/k²
利用抛物线定义
|AB|=|AF|+|BF|=xA+p/2+xB+p/2=xA+xB+p
即 |AB|=(k²p+2p)/k²+p
=2p+2p/k²
=2p(1+1/k²)
=2p*(1+cos²a/sin²a)
=2p*(sin²a+cos²a)/sin²a
=2p/sin²a
综上,|AB|=2p/sin²a

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