在棱长为1的正方形体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,且CG=1/4CD,H为C1G的中点,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 00:13:10

在棱长为1的正方形体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,且CG=1/4CD,H为C1G的中点,
应用空间向量方法求解下列问题：（1）求证：EF垂直B1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长.

以A1为原点,A1B1为x轴,A1D1为y轴,A1A为z轴,建立空间直角坐标系A1—xyz
则有A1(0,0,0),E(0,1,1/2),F(1/2,1/2,1),B1(1,0,0),C(1,1,1),G(3/4,1,1),H(7/8,1,1/2)
(1)由已知坐标得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2),向量B1C=(0,1,1)
所以向量EF*向量B1C=-1/2+1/2=0
所以EF垂直B1C
(2)可得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2),向量B1G=(-1/4,1,1)
所以cos=向量EF*向量B1G/(|向量EF|*|向量B1G|)
=(-1/8-1/2+1/2)/(根号3/2*根号33/4)=-根号11/33
所以EF与C1G所成的角的余弦为根号11/33
(3)可得向量FH=(3/8,1/2,-1/2)
所以FH=根号((3/8)²+(1/2)²+(-1/2)²)=根号41/8