作业帮[200高分]圆的问题!求数学高手!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 19:48:13
[200高分]圆的问题!求数学高手!
本人是高中水平,一直被这个问题困惑着,希望高手能帮忙!
圆01与圆02相内切（02在01里面）
已知圆03与圆O1内切,圆O3与圆O2外切 请问圆心03的轨迹是什么形状?是另外一个圆吗（我才肯定不是）,如果不是的话那学名叫什么曲线?
这一问是给想挑战的人,只要肯帮忙我都会再送分的!非常感谢!
已知两个圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (x-c)^2+(y-d)^2=r^2 能不能求出这条曲线的方程?
我已经用了abcd四个字母，就已经说明圆心连线不是平行与坐标轴的了，我说的都是一般的情况就像dj-100所说的，你们谁能给我求出这个椭圆方程？
本人是高中水平,一直被这个问题困惑着,希望高手能帮忙!
圆01与圆02相内切（02在01里面）
已知圆03与圆O1内切,圆O3与圆O2外切 请问圆心03的轨迹是什么形状?是另外一个圆吗（我才肯定不是）,如果不是的话那学名叫什么曲线?
这一问是给想挑战的人,只要肯帮忙我都会再送分的!非常感谢!
已知两个圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 (x-c)^2+(y-d)^2=r^2 能不能求出这条曲线的方程?
我已经用了abcd四个字母，就已经说明圆心连线不是平行与坐标轴的了，我说的都是一般的情况就像dj-100所说的，你们谁能给我求出这个椭圆方程？
设圆03的圆心坐标为（X,Y）
则,
圆01的半径 - 圆03的半径 = 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离
圆02的半径 + 圆03的半径 = 圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离,
圆03的半径
= 圆01的半径- 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离
= 圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离 - 圆02的半径,
圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离 + 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离 = 圆01的半径 + 圆02的半径
【圆03的圆心到圆01和圆02的2个圆心之间的距离和等于常数,所以圆03的圆心的轨迹是一个椭圆】
所以,
R - [(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = [(X-c)^2 + (Y-d)^2]^(1/2) - r,
R + r - [(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = [(X-c)^2 + (Y-d)^2]^(1/2),
(R+r)^2 + [(X-a)^2 + (Y-b)^2] - 2(R+r)[(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2)
= [(X-c)^2 + (Y-d)^2],
2(R+r)[(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = (R+r)^2 + [(X-a)^2 + (Y-b)^2] - [(X-c)^2 + (Y-d)^2]
= (R+r)^2 + X^2 - 2aX + a^2 + Y^2 - 2bY + b^2 - X^2 + 2cX - c^2 - Y^2 + 2dY - d^2
= (R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2(c-a)X + 2(d-b)Y,
4(R+r)^2[(X-a)^2 + (Y-b)^2] = [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2(c-a)X + 2(d-b)Y]^2,
4X^2[(R+r)^2 - (c-a)^2] + 4Y^2[(R+r)^2 - (d-b)^2] - 8XY(c-a)(d-b) -
- 4X{2a(R+r)^2 + [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2](c-a)} -
- 4Y{2b(R+r)^2 + [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2](d-b)} +
+ 4(R+r)^2(a^2 + b^2) - [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2]^2 = 0
最后的表达式就是这个椭圆的方程.
则,
圆01的半径 - 圆03的半径 = 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离
圆02的半径 + 圆03的半径 = 圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离,
圆03的半径
= 圆01的半径- 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离
= 圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离 - 圆02的半径,
圆03的圆心 和 圆02的圆心之间的距离 + 圆03的圆心 和 圆01的圆心之间的距离 = 圆01的半径 + 圆02的半径
【圆03的圆心到圆01和圆02的2个圆心之间的距离和等于常数,所以圆03的圆心的轨迹是一个椭圆】
所以,
R - [(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = [(X-c)^2 + (Y-d)^2]^(1/2) - r,
R + r - [(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = [(X-c)^2 + (Y-d)^2]^(1/2),
(R+r)^2 + [(X-a)^2 + (Y-b)^2] - 2(R+r)[(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2)
= [(X-c)^2 + (Y-d)^2],
2(R+r)[(X-a)^2 + (Y-b)^2]^(1/2) = (R+r)^2 + [(X-a)^2 + (Y-b)^2] - [(X-c)^2 + (Y-d)^2]
= (R+r)^2 + X^2 - 2aX + a^2 + Y^2 - 2bY + b^2 - X^2 + 2cX - c^2 - Y^2 + 2dY - d^2
= (R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2(c-a)X + 2(d-b)Y,
4(R+r)^2[(X-a)^2 + (Y-b)^2] = [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2 + 2(c-a)X + 2(d-b)Y]^2,
4X^2[(R+r)^2 - (c-a)^2] + 4Y^2[(R+r)^2 - (d-b)^2] - 8XY(c-a)(d-b) -
- 4X{2a(R+r)^2 + [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2](c-a)} -
- 4Y{2b(R+r)^2 + [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2](d-b)} +
+ 4(R+r)^2(a^2 + b^2) - [(R+r)^2 + a^2 + b^2 - c^2 - d^2]^2 = 0
最后的表达式就是这个椭圆的方程.