作业帮针对于圆锥的体积推导公式
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 12:24:34
针对于圆锥的体积推导公式
最近想了一下圆的体积公式,于是回到了圆锥的体积公式上,我下面说下我的求圆锥体积的方法,首先如图
图为圆锥,AG是高,BG是半径.D、H是中点,F是交点,EF是AG垂线.
则圆锥可以看成是三角形ABG绕AG旋转一周得到的.面积是1/2rh.于是只要知道这个圆锥的面积旋转的中心就行了,就是能代替这个三角形整体面积运动的点,就是重心.因为重心是一个物体受重力作用的综合在一起的作用点,也就是物体下落时所有部分受的重力都可以用这个点受力来表示,那这个三角形面积运动的中心就是F点.EF是该圆锥面积旋转的半径,是1/3r.那么这个面运动的距离就是2/3πr,与面积相乘就是圆锥体积,也就是V=1/3πr^2h.
希望大家看看这样推导又没有什么不足之处,或者是不对的地方.
--------------------------------------------我是分割线------------------------------------------------
如果这个方式成立的话,那么求球体的体积只要知道半圆的重心到直径的距离就可以了,如果正确的话半圆重心到直径距离应该是4r/3π,不过我不会推,希望看到这里的大神能告诉我下半圆重心在哪里.（话说过几何图形一顶点平分该几何图形面积的直线必过该几何图形圆心是公理吧- -）
--------------------------------------------我是分割线------------------------------------------------
话说之前我是想这样求出圆锥体积的,平行于底面切无数次,那么每次切面的面积和应该就能等于圆锥的体积.第一次切与AG交点到A距离最近,到A是h1.第n次到G最近,到A是hn,h1/h=r1/r,h1+hn=h等以此类推,那么应该有πr1^2+πr2^2+...+πrn^2+πr^2=1/3πr^2h（可能有错）.化简后我得到了
1/3h^3-h^2=h1^2+h2^2+...+hn^2,我随意带入数值(保证h1+hn=h等),等式却不成立,
我实在没多少财富,不能奖励多少,不过还是希望大家能积极点回答（要过程）,
修改下,两分界线间第三行圆心应该是重心
最近想了一下圆的体积公式,于是回到了圆锥的体积公式上,我下面说下我的求圆锥体积的方法,首先如图
图为圆锥,AG是高,BG是半径.D、H是中点,F是交点,EF是AG垂线.
则圆锥可以看成是三角形ABG绕AG旋转一周得到的.面积是1/2rh.于是只要知道这个圆锥的面积旋转的中心就行了,就是能代替这个三角形整体面积运动的点,就是重心.因为重心是一个物体受重力作用的综合在一起的作用点,也就是物体下落时所有部分受的重力都可以用这个点受力来表示,那这个三角形面积运动的中心就是F点.EF是该圆锥面积旋转的半径,是1/3r.那么这个面运动的距离就是2/3πr,与面积相乘就是圆锥体积,也就是V=1/3πr^2h.
希望大家看看这样推导又没有什么不足之处,或者是不对的地方.
--------------------------------------------我是分割线------------------------------------------------
如果这个方式成立的话,那么求球体的体积只要知道半圆的重心到直径的距离就可以了,如果正确的话半圆重心到直径距离应该是4r/3π,不过我不会推,希望看到这里的大神能告诉我下半圆重心在哪里.（话说过几何图形一顶点平分该几何图形面积的直线必过该几何图形圆心是公理吧- -）
--------------------------------------------我是分割线------------------------------------------------
话说之前我是想这样求出圆锥体积的,平行于底面切无数次,那么每次切面的面积和应该就能等于圆锥的体积.第一次切与AG交点到A距离最近,到A是h1.第n次到G最近,到A是hn,h1/h=r1/r,h1+hn=h等以此类推,那么应该有πr1^2+πr2^2+...+πrn^2+πr^2=1/3πr^2h（可能有错）.化简后我得到了
1/3h^3-h^2=h1^2+h2^2+...+hn^2,我随意带入数值(保证h1+hn=h等),等式却不成立,
我实在没多少财富,不能奖励多少,不过还是希望大家能积极点回答（要过程）,
修改下,两分界线间第三行圆心应该是重心
我按照你的分割线,一段一段来讲哈
第一段
“因为重心是一个物体受重力作用的综合在一起的作用点,也就是物体下落时所有部分受的重力都可以用这个点受力来表示”
虽然表述有点问题,不过重心基本就是这个意思.但是,首先,拿重心来作为面积-体积的转换点,这里的理由并不充分.其次,严格地说,一个二维图形谈不上什么重心,因为二维图形没有厚度,质量和重力什么的也不存在,“三角形的重心”是以“平板状的三角形”作为前提来进行考量的；在圆锥中,如果非要考虑三角形ABG的重心,那么很显然AG这条边的厚度是0,而B点的厚度比AG肯定要大,那么重心肯定也要相应的向着B点方向偏移——如果非要计算重心,那么需要用到积分
第二段
首先我猜你想说的“半圆重心”指的是“半球的重心”?很遗憾据我所知这个同样需要积分,这个问题先搁置一下,积分的概念等会一起讲.
所谓“过几何图形一顶点平分该几何图形面积的直线必过该几何图形圆心”,你的意思我也不是很理解.举个例子吧,对于一个三角形,相关的圆至少有两种：内切圆和外接圆,具体概念应该可以百度.那么还是拿三角形来说,过一个顶点且平分该三角形面积的直线,是这个顶点对应的中线——也就是“这个顶点”和“它对应边的中点”两者的连线.句子有点长,希望你没有看晕.
第三段
对了,其实这个思路是正确的,而且这就是积分的思路.
对于求立体图形的体积,积分的思路就是你想象的这样,我们拿圆锥来当例子：
第一步,用平行底面的n个平面等距地切割圆,假设这个n非常大,那么切割下来的每个东西——这个应该叫梯台的体积,求和,就是整个圆锥的体积了
第二步,计算每一个梯台的体积,假设每个梯台高度是h0,而圆锥高是h
从上向下数,第k个梯台,它的上底面和下底面半径很好算,分别是(k-1)/n*r和k/n*r
而这个梯台的体积,先告诉你,可以把它当做圆柱来计算,底面半径用(k-1)/n*r或者k/n*r没有区别,因为对于一个非常矮的梯台而言,上底面和下底面的差别也非常小,不足以影响梯台的体积.这也许很难想象,不过我可以算给你看
用k/n*r的圆柱来计算单个梯台体积,那么体积就是(k*r/n)^2*pi*h0
整个圆锥的体积就是h0*pi*r^2/n^2*(1+4+9+...+n^2).记住这个(*)
而h0=h/n
1+4+9+...+n^2利用平方和公式,结果是n*(n+1)*(2n+1)/6
很显然平方和的项当中,有n^3、n^2和n,当n非常大的时候,起决定性作用的是n^3,只要看它的系数1/3就足够了,于是圆锥体积表达式(*)就是(h/n)*pi*r^2/n^2*(1/3*n^3)=h*pi*r^2/3,这就是圆锥的体积表达式
——————
下面来补充几个东西
1、关于梯台和圆柱体积的关系
算给你看哈：首先梯台的体积肯定介于上底面和下底面对应的两个圆柱之间,因为圆柱也可以看做特殊的梯台
那么,第k个梯台,它的体积就介于底面半径(k-1)*r/n和k*r/n的两个圆柱之间
k对应的圆柱体积和已经算过了,设这个体积和是V1,把k-1对应的圆柱也求一次和,设它是V2,(*)式里面的平方和会变成(n-1)*n*(2n-1)/6,这当n很大的时候,结果跟之前是一样的吧?
那么整个圆锥的体积V2
再问： 额，第二段我补充了一下的，圆心应该是重心的
再答： 如果是重心，那么不需要加前面“过一个顶点”的条件 平分几何图形面积的直线必定过重心。 ————————讲点多余的 前面那句话不是公理，而是可以推导出来的 几何公理只有五条，从这五条可以推出剩下所有的定理（当然这是以欧氏几何而言） 楼主如果有精力而且有兴趣，可以看看几何原本，其中的逻辑思维很值得学习 ——不过几何原本要从头看完才有意思，如果只是看看玩玩，还是不要花这个时间，有想法多跟老师交流交流吧
第一段
“因为重心是一个物体受重力作用的综合在一起的作用点,也就是物体下落时所有部分受的重力都可以用这个点受力来表示”
虽然表述有点问题,不过重心基本就是这个意思.但是,首先,拿重心来作为面积-体积的转换点,这里的理由并不充分.其次,严格地说,一个二维图形谈不上什么重心,因为二维图形没有厚度,质量和重力什么的也不存在,“三角形的重心”是以“平板状的三角形”作为前提来进行考量的；在圆锥中,如果非要考虑三角形ABG的重心,那么很显然AG这条边的厚度是0,而B点的厚度比AG肯定要大,那么重心肯定也要相应的向着B点方向偏移——如果非要计算重心,那么需要用到积分
第二段
首先我猜你想说的“半圆重心”指的是“半球的重心”?很遗憾据我所知这个同样需要积分,这个问题先搁置一下,积分的概念等会一起讲.
所谓“过几何图形一顶点平分该几何图形面积的直线必过该几何图形圆心”,你的意思我也不是很理解.举个例子吧,对于一个三角形,相关的圆至少有两种：内切圆和外接圆,具体概念应该可以百度.那么还是拿三角形来说,过一个顶点且平分该三角形面积的直线,是这个顶点对应的中线——也就是“这个顶点”和“它对应边的中点”两者的连线.句子有点长,希望你没有看晕.
第三段
对了,其实这个思路是正确的,而且这就是积分的思路.
对于求立体图形的体积,积分的思路就是你想象的这样,我们拿圆锥来当例子：
第一步,用平行底面的n个平面等距地切割圆,假设这个n非常大,那么切割下来的每个东西——这个应该叫梯台的体积,求和,就是整个圆锥的体积了
第二步,计算每一个梯台的体积,假设每个梯台高度是h0,而圆锥高是h
从上向下数,第k个梯台,它的上底面和下底面半径很好算,分别是(k-1)/n*r和k/n*r
而这个梯台的体积,先告诉你,可以把它当做圆柱来计算,底面半径用(k-1)/n*r或者k/n*r没有区别,因为对于一个非常矮的梯台而言,上底面和下底面的差别也非常小,不足以影响梯台的体积.这也许很难想象,不过我可以算给你看
用k/n*r的圆柱来计算单个梯台体积,那么体积就是(k*r/n)^2*pi*h0
整个圆锥的体积就是h0*pi*r^2/n^2*(1+4+9+...+n^2).记住这个(*)
而h0=h/n
1+4+9+...+n^2利用平方和公式,结果是n*(n+1)*(2n+1)/6
很显然平方和的项当中,有n^3、n^2和n,当n非常大的时候,起决定性作用的是n^3,只要看它的系数1/3就足够了,于是圆锥体积表达式(*)就是(h/n)*pi*r^2/n^2*(1/3*n^3)=h*pi*r^2/3,这就是圆锥的体积表达式
——————
下面来补充几个东西
1、关于梯台和圆柱体积的关系
算给你看哈：首先梯台的体积肯定介于上底面和下底面对应的两个圆柱之间,因为圆柱也可以看做特殊的梯台
那么,第k个梯台,它的体积就介于底面半径(k-1)*r/n和k*r/n的两个圆柱之间
k对应的圆柱体积和已经算过了,设这个体积和是V1,把k-1对应的圆柱也求一次和,设它是V2,(*)式里面的平方和会变成(n-1)*n*(2n-1)/6,这当n很大的时候,结果跟之前是一样的吧?
那么整个圆锥的体积V2
再问： 额，第二段我补充了一下的，圆心应该是重心的
再答： 如果是重心，那么不需要加前面“过一个顶点”的条件 平分几何图形面积的直线必定过重心。 ————————讲点多余的 前面那句话不是公理，而是可以推导出来的 几何公理只有五条，从这五条可以推出剩下所有的定理（当然这是以欧氏几何而言） 楼主如果有精力而且有兴趣，可以看看几何原本，其中的逻辑思维很值得学习 ——不过几何原本要从头看完才有意思，如果只是看看玩玩，还是不要花这个时间，有想法多跟老师交流交流吧