作业帮已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C：3x²+4y²=12相交于M、N两点（M、N不是左右顶点
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 17:03:29
已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C：3x²+4y²=12相交于M、N两点（M、N不是左右顶点）,且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求直线l方程
C：x^2/4 + y^2/3 = 1,所以椭圆的顶点是(2,0),(-2,0),(0,√3),(0,-√3).A(2,0).
直线l经过(0,1),这个点在椭圆内部,所以l和C一定有两个交点.
A经过以MN为直径的圆,也就是A到MN中点的距离等于MN长度的一半.
于是,联立椭圆C和直线l的方程,得到：
(3+4k^2)x^2 + 8kx - 8 = 0
这个方程的两个解x1,x2就是M和N的横坐标.
根据韦达定理,
x1+x2 = -8k / (3+4k^2)
x1x2 = -8 / (3+4k^2)
所以,MN中点（记为P）的横坐标是
(x1+x2)/2 = -4k / (3+4k^2)
P在直线l上,所以代入直线方程,P的纵坐标是
y = kx+1 = -4k^2 / (3+4k^2) + 1 = 3 / (3+4k^2)
即P(-4k/(3+4k^2),3/(3+4k^2)).
|AP| = √((2 + 4k/(3+4k^2))^2 + (3/(3+4k^2))^2)
= √((8k^2+4k+6)^2 + 9) / (3+4k^2)
= √(64k^4 + 64k^3 + 112k^2 + 48k + 45) / (3+4k^2)
回过头求|MN|：
|MN| = √(1+k^2) * √((x1+x2)^2 - 4x1x2)
= √(1+k^2) * √(64k^2 + 32(3+4k^2)) / (3+4k^2)
= √(1+k^2) * √(192k^2+96) / (3+4k^2)
= √(192k^4 + 288k^2 + 96) / (3+4k^2)
于是,由于|AP| = |MN|/2,有：
64k^4 + 64k^3 + 112k^2 + 48k + 45 = 48k^4 + 72k^2 + 24
16k^4 + 64k^3 + 40k^2 + 48k + 21 = 0
额………………………………然后用WolframAlpha解这个方程,得到2个实数
k1 = -7/2
k2 = -1/2
顺便WolframAlpha把这个方程因式分解成：
(2k+1)(2k+7)(3+4k^2) = 0
至于如何用正常方法解这个方程………………我不知道…………可能计算过程中有什么地方可以简化吧…………
直线l经过(0,1),这个点在椭圆内部,所以l和C一定有两个交点.
A经过以MN为直径的圆,也就是A到MN中点的距离等于MN长度的一半.
于是,联立椭圆C和直线l的方程,得到：
(3+4k^2)x^2 + 8kx - 8 = 0
这个方程的两个解x1,x2就是M和N的横坐标.
根据韦达定理,
x1+x2 = -8k / (3+4k^2)
x1x2 = -8 / (3+4k^2)
所以,MN中点（记为P）的横坐标是
(x1+x2)/2 = -4k / (3+4k^2)
P在直线l上,所以代入直线方程,P的纵坐标是
y = kx+1 = -4k^2 / (3+4k^2) + 1 = 3 / (3+4k^2)
即P(-4k/(3+4k^2),3/(3+4k^2)).
|AP| = √((2 + 4k/(3+4k^2))^2 + (3/(3+4k^2))^2)
= √((8k^2+4k+6)^2 + 9) / (3+4k^2)
= √(64k^4 + 64k^3 + 112k^2 + 48k + 45) / (3+4k^2)
回过头求|MN|：
|MN| = √(1+k^2) * √((x1+x2)^2 - 4x1x2)
= √(1+k^2) * √(64k^2 + 32(3+4k^2)) / (3+4k^2)
= √(1+k^2) * √(192k^2+96) / (3+4k^2)
= √(192k^4 + 288k^2 + 96) / (3+4k^2)
于是,由于|AP| = |MN|/2,有：
64k^4 + 64k^3 + 112k^2 + 48k + 45 = 48k^4 + 72k^2 + 24
16k^4 + 64k^3 + 40k^2 + 48k + 21 = 0
额………………………………然后用WolframAlpha解这个方程,得到2个实数
k1 = -7/2
k2 = -1/2
顺便WolframAlpha把这个方程因式分解成：
(2k+1)(2k+7)(3+4k^2) = 0
至于如何用正常方法解这个方程………………我不知道…………可能计算过程中有什么地方可以简化吧…………
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一到关于椭圆的数学题 已知椭圆a2=4,b2=3,若直线l:y=kx+m(k不等于0)与椭圆交于不同两点M,N且线段MN