作业帮周期函数的定积分的一个性质实在不明白
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 06:17:16
周期函数的定积分的一个性质实在不明白
定理3.7 假定函数f(x)以T为周期,即对于任意实数x有f（x＋T）＝f（x)在[0,T]上可积,那么
（1）∫上限a+T,下限a的 f（x）＝∫上限T下限o的f（x）dx（这一个理解）
（2）∫上限x下限0的f（t）dt以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0 （就是这个,不明白的原因是,为什么定积分0,定积分是面积的代数和,那很难得到定积分等于0啊,就算是任意一个周期函数列如y＝sinx+5 这样怎么可能定积分是0呢?）
（3）设连续函数f（x）以T为周期,则f（x）的全体原函数以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0（这个也不理解,怎么就等于0了!哭）
我分不多实在没得悬赏,但是真心跪求解答,
定理3.7 假定函数f(x)以T为周期,即对于任意实数x有f（x＋T）＝f（x)在[0,T]上可积,那么
（1）∫上限a+T,下限a的 f（x）＝∫上限T下限o的f（x）dx（这一个理解）
（2）∫上限x下限0的f（t）dt以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0 （就是这个,不明白的原因是,为什么定积分0,定积分是面积的代数和,那很难得到定积分等于0啊,就算是任意一个周期函数列如y＝sinx+5 这样怎么可能定积分是0呢?）
（3）设连续函数f（x）以T为周期,则f（x）的全体原函数以T为周期的充要条件是∫上限T下限0的f（t）dt=0（这个也不理解,怎么就等于0了!哭）
我分不多实在没得悬赏,但是真心跪求解答,
首先这个结论是可证出来的：
设g(x)=∫[0→x] f(t) dt
若g(x)是以T为周期的函数,则g(x)=g(x+T)
得：∫[0→x] f(t) dt=∫[0→x+T] f(t) dt
注意右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[x→x+T] f(t) dt
由（1）得：∫[x→x+T] f(t) dt = ∫[0→T] f(t) dt
右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[0→T] f(t) dt = f(t) + ∫[0→T] f(t) dt
这样我们看到,左边与右边相比,右边多出一个∫[0→T] f(t) dt,因此两要想相等,只有
∫[0→T] f(t) dt=0
面积的代数和有可能会为0的,那就是必须x轴上方和下方都要有.
g(x)=∫[0→x] f(t) dt是对f(t)的一个面积累加,你想累加到最后居然函数值重复出现了,说明这个累加没有增加面积,也就是说累加了一个面积为0的东西.
设g(x)=∫[0→x] f(t) dt
若g(x)是以T为周期的函数,则g(x)=g(x+T)
得：∫[0→x] f(t) dt=∫[0→x+T] f(t) dt
注意右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[x→x+T] f(t) dt
由（1）得：∫[x→x+T] f(t) dt = ∫[0→T] f(t) dt
右边=∫[0→x] f(t) dt + ∫[0→T] f(t) dt = f(t) + ∫[0→T] f(t) dt
这样我们看到,左边与右边相比,右边多出一个∫[0→T] f(t) dt,因此两要想相等,只有
∫[0→T] f(t) dt=0
面积的代数和有可能会为0的,那就是必须x轴上方和下方都要有.
g(x)=∫[0→x] f(t) dt是对f(t)的一个面积累加,你想累加到最后居然函数值重复出现了,说明这个累加没有增加面积,也就是说累加了一个面积为0的东西.