作业帮对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/25 12:18:40
对于一个二阶常系数非齐次微分方程 如果特征方程的一个解出现在此微分方程的右边
对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何猜测它的特解?例如：y"+3y'+2y=25+x(e^-x) 猜测它的特解为y*=A+x(K0+K1x)(e^-x) 其中A K0 K1为常数,因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x,可在y"-2y'+y=(e^x)cosx中,特征方程的解为两个1,可为什么它的特解方程还是y*=(e^x)(Acosx+Bsinx) 而不用乘以x^2呢?
对于一个二阶常系数非齐次微分方程,例如：y"+py'+qy=r(x) 如果其特征方程的一个解出现在r(x)里时,该如何猜测它的特解?例如：y"+3y'+2y=25+x(e^-x) 猜测它的特解为y*=A+x(K0+K1x)(e^-x) 其中A K0 K1为常数,因为特征方程的一个解为-1 所以特解方程里多了一个x,可在y"-2y'+y=(e^x)cosx中,特征方程的解为两个1,可为什么它的特解方程还是y*=(e^x)(Acosx+Bsinx) 而不用乘以x^2呢?
e^x*cos(x)对应的特征根是x^2-x+1/2=0的根.
这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为 y*=(e^x)(Acosx+Bsinx),从而避免虚数.
描述的不是很好.
再问： 也就是说e^x*cos(x)对应的特征根应该是1+i或1-i ，而这是从当特征根为虚数时，y(x)=(e^Ux)(Acosvx+Bsinvx)中得到的？
再答： 就是这样的。
这个是因为有欧拉公式e^(ix)=cos(x)+i*sin(x).当然你设解为y*=Ae^(x(1+i))+Be^(x(1-i))可以按照齐次方程的特解设的方法来理解.因为那个欧拉公式,就可以将解设为 y*=(e^x)(Acosx+Bsinx),从而避免虚数.
描述的不是很好.
再问： 也就是说e^x*cos(x)对应的特征根应该是1+i或1-i ，而这是从当特征根为虚数时，y(x)=(e^Ux)(Acosvx+Bsinvx)中得到的？
再答： 就是这样的。
求一个二阶常系数线性非齐次微分方程的通解!二阶 常系数 线性 非齐次 微分方程
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二阶常系数线性微分方程的右边是常数怎么解,不是0 ,是一个其他的常数
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