作业帮 > 数学 > 作业

若函数f(x)对于任意实数都有f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正整数)则f(x)是否为周期函数?若为周

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/05 02:39:25
若函数f(x)对于任意实数都有f(x)=f(x-a)+f(x+a)(常数a为正整数)则f(x)是否为周期函数?若为周
期函数,求出它的一个周期;若不是函数,则说明理由
在f(x)=f(x-a)+f(x+a)中,取x为x+a得:f(x+a)=f(x)+f(x+2a),即f(x)=f(x+a)-f(x+2a).
所以,f(x-a)+f(x+a)=f(x+a)-f(x+2a),即f(x-a)=-f(x+2a).
在f(x-a)=-f(x+2a)中,取x为x+a得:f(x)=-f(x+3a).
根据上式可得:f(x+6a)=-f(x+3a)=f(x).
所以f(x)是以6a为周期的周期函数.