作业帮对以下分段函数求导,以及证明它是不连续的
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 12:53:11
对以下分段函数求导,以及证明它是不连续的
分别对Fx和Fy在点（0,0）求导
f(x,y) = sin(xy)/(x^2+y^2) 当（x,y）≠（0,0）
f(x,y) = 0 当（x,y）＝（0,0）
提示说此函数的不连续的,如何证明是不连续的?
分别对Fx和Fy在点（0,0）求导
f(x,y) = sin(xy)/(x^2+y^2) 当（x,y）≠（0,0）
f(x,y) = 0 当（x,y）＝（0,0）
提示说此函数的不连续的,如何证明是不连续的?
在,y＝x上,看Lim[﹙x,y﹚→﹙0,0﹚]f(x,y)＝Lim[x→0]sin﹙x²﹚/﹙2x²﹚＝1/2≠0＝f(0,0)
∴f(x,y) 在﹙0,0﹚不连续.
再问： 谢谢！还想问下在点（0,0）求导，是因为在此点f(x,y) = 0 直接等于0吗，还是要求f（x,y）在（x,y）≠（0,0）的时候的导数？但是好像如果函数不连续是不能求导？概念有点忘了不好意思
再答： 在点（0,0），f 虽然不连续，但是它的两个偏导数都存在（这一点与一元函数不同！） 因为在x＝0,或者y＝0上，f 都是0，所以点（0,0），两个偏导数都是0。 至于其他点的偏导数，你应该能够计算，自己算吧。
∴f(x,y) 在﹙0,0﹚不连续.
再问： 谢谢！还想问下在点（0,0）求导，是因为在此点f(x,y) = 0 直接等于0吗，还是要求f（x,y）在（x,y）≠（0,0）的时候的导数？但是好像如果函数不连续是不能求导？概念有点忘了不好意思
再答： 在点（0,0），f 虽然不连续，但是它的两个偏导数都存在（这一点与一元函数不同！） 因为在x＝0,或者y＝0上，f 都是0，所以点（0,0），两个偏导数都是0。 至于其他点的偏导数，你应该能够计算，自己算吧。