L为平面上任意不经过原点的逆时针圆周,试计算封闭曲线积分∫L（xdy-ydx）/（x^2+4y^2

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 05:28:57

1、当原点不在曲线内时,P=-y/(x²+4y²),Q=x/(x²+4y²),P、Q在L内具有一阶连续偏导数
计算得：∂P/∂y=∂Q/∂x,由格林公式易得封闭曲线上积分为0,本题结果=0
2、当原点在曲线内时,此时P、Q在(0,0)无定义,所以上面的方法不能用.
作曲线L1：x²+4y²=ε²,逆时针,ε充分小,使得L1与L不相交；
用 L1- 表示L1的反向曲线（注意负号是上标）
则P、Q在(L+L1-)所围区域内具有一阶连续偏导数,可以使用格林公式
∫(L+L1-)（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
=∫∫ (∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy
=0
因此得：∫L（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)=∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
下面计算L1上积分即可
∫L1（xdy-ydx）/（x^2+4y^2)
注意在L1上x²+4y²=ε²
=(1/ε²)∫L1 (xdy-ydx)
格林公式
=(1/ε²)∫∫ 2 dxdy
=(2/ε²)∫∫ 1 dxdy
被积函数为1,积分结果为区域面积,椭圆面积为：πab=πε²/2,其中a=ε,b=ε/2
=(2/ε²)*(πε²/2)
=π

求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正向, L为取正向的圆周,x^2+y^2=R^2,求曲线积分∮xy^2dy-x^2ydx的值（答案是πR^4/2）求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2(a>0)取逆时针方向! 求曲线积分fxy^2dy-x^2ydx其中L为圆周x^2+y^2=a^2的正方向为什么我算出来是pai*a的4次.和答设L为取正向圆周的X^2+Y^2=1,求∫（-y）dx+xdy 第一型曲线积分的问题：1.计算∫下标L|y| ds,其中L为右半单位圆周:x^2+y^2=1,x>=0 第二型曲线积分问题∫L ydx+zdy+xdz,其中L是x+y=2与x^2+y^2+z^2=2(x+y)的交线,从原点看设xoy面上的曲线L为圆心在原点半径为R的圆周则闭合曲线积分L（x²+y²）ds? 如题：设L是由曲线y^3=x^2与直线y=x连接起来的正向闭曲线,计算 (x^2)ydx+y^2dy的曲线积分(积分符号 L∫xydx,其中L为y^2=x上,从A（1,-1）到B（1.1）的一般弧,计算第二类曲线积分把对坐标的曲线积分∫ L P(x,y)dx+Q(x,y)dy化成对弧长的曲线积分,其中L为沿上半圆周x 2 +y 2=2 I=∫ydx-xdy,L是圆x^2+y^2=4在第一象限从点（2,0）到点（0,2）的一段,求I等于多少?