作业帮线性代数正交性的一道习题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/21 08:44:12
线性代数正交性的一道习题
令S为由x=(1,-1,1)T张成的R3子空间,求S⊥的一组基.
令S为由x=(1,-1,1)T张成的R3子空间,求S⊥的一组基.
法一：
S中的向量可以表示为：(k,-k,k)T
设(a,b,c)是S的正交补空间S⊥中的向量.
则S中的向量与S⊥中的向量内积为0：
ka-kb+kc=0
即a-b+c=0
解这个其次线性方程组：
[a,b,c]T = [1 1 0]T * b +[-1 0 1]T * c
其中b,c是自由未知量
所以S⊥的一组基是[1 1 0]T,[-1 0 1]T
法二：
利用公式,如果S为A的值域,那么S⊥就是(A)H的核空间.其中(A)H表示A的共轭转置.
本题：
A=[1 -1 1]T
S=R(A)
(A)H=[1 -1 1]
S⊥=K((A)H)=K([1 -1 1])
同样是解法一中的其次线性方程组.答案一样的.
法三：
由于dim(R3)=3,根据维数定理,dim(S)+dim(S⊥)=dim(R3)=3
又由于dim(S)=1,所以dim(S⊥)=2
维数较小,我们直接拼凑出任意两个线性无关的三维向量与[1 -1 1]T正交即可.
S中的向量可以表示为：(k,-k,k)T
设(a,b,c)是S的正交补空间S⊥中的向量.
则S中的向量与S⊥中的向量内积为0：
ka-kb+kc=0
即a-b+c=0
解这个其次线性方程组：
[a,b,c]T = [1 1 0]T * b +[-1 0 1]T * c
其中b,c是自由未知量
所以S⊥的一组基是[1 1 0]T,[-1 0 1]T
法二：
利用公式,如果S为A的值域,那么S⊥就是(A)H的核空间.其中(A)H表示A的共轭转置.
本题：
A=[1 -1 1]T
S=R(A)
(A)H=[1 -1 1]
S⊥=K((A)H)=K([1 -1 1])
同样是解法一中的其次线性方程组.答案一样的.
法三：
由于dim(R3)=3,根据维数定理,dim(S)+dim(S⊥)=dim(R3)=3
又由于dim(S)=1,所以dim(S⊥)=2
维数较小,我们直接拼凑出任意两个线性无关的三维向量与[1 -1 1]T正交即可.