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设 为实对称矩阵 的一个3重特征根,则 ( ).

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 12:15:12
设 为实对称矩阵 的一个3重特征根,则 ( ).
A) 矩阵 的对应特征值 的特征向量线性无关；
(B) 矩阵 的对应特征值 的特征向量两两正交；
(C) 矩阵 有3个对应 的两两正交的特征向量;
(D) 矩阵 的对应特征值 的特征向量的个数恰好是3个.
C.
为什么对,为什么错?我觉得B和C是一样的啊,另外,我觉得特征根如果有重根,对应的特征向量不一定是两两正交的吧,应该是当对称阵对应的n个特征值互不相同时,才有两两相交吧?
你写完都不知道看一下,漏掉两个字母不觉得别扭吗
假定矩阵是A,特征值是L
B的意思是说A关于L的任何两个特征向量都正交,这显然是错的,即便要求两个特征向量线性无关都不能保证正交.
C的意思是说存在（也就是能够找到）3个A关于L的特征向量使得它们两两正交,这个自然是对的,取特征子空间的正交基即可.
如果分不清B和C说明逻辑比较混乱,这样的问题在微积分里面会暴露得更明显一些.
至于A和D为什么错,这个太低级了吧.
这个问题要点在于要知道实对称矩阵的重特征值仍然有完全特征向量系,并且不同特征值对应的特征子空间是互相正交的.至于每个特征子空间内部的特征向量的取法则没有太多的约束,线性无关就够了,只能说可以取成正交基.
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