作业帮高二数学 已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/29 03:03:20
高二数学 已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点,
请详细解释：
已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB＝120°求椭圆离心率的取值范围?
请详细解释：
已知AB是椭圆x²／a²＋y²／b²＝1 ﹙a＞b＞0﹚长轴的两个端点,如果椭圆上存在一点Q,使∠AQB＝120°求椭圆离心率的取值范围?
∵当Q在Y轴上时∠AQB最大
∴Q在Y轴上时∠AQB≥120°,则∠OQA≥60°
∠OQA=60°时,b/a=1/√3,
c²=a²-b²=a²-a²/3=a²(2/3)
∴e²=2／3,e=√6/3
要使∠OQA＞60°,a不变,b要变小,c就增大
∴√6/3≤e＜1
貌似得证明Q在Y轴上时∠AQB最大
设：QA=a,QB=b,AB=c(c为常数）,∠AQB=θ
由余弦定理得
cosθ=(a^2+b^2-c^2)/2ab
当a=b时,分母取得最大值（2ab≤a^2+b^2),分子取得最小值（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)
即a=b时,cosθ最小,cosθ在（0＜θ＜π）是减函数,所以cosθ最小时,θ最大
再问： 怎样证明在y轴上时角度最大呢?
再答： 已经回答了，余弦定理 a=b就是在y轴的时候
再问： 但是我用余弦定理没证出来，我提问主要是想看一下用余弦定理的证明过程，麻烦证一下吧。
再答： 当a=b时，分母取得最大值a^2+b^2（2ab≤a^2+b^2)， 分子取得最小值2ab-c^2（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)此时c^2是常数 a=b时cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=2ab-c^2/a^2+b^2 分子最小，分母最大，cosC的值就是最小呀
∴Q在Y轴上时∠AQB≥120°,则∠OQA≥60°
∠OQA=60°时,b/a=1/√3,
c²=a²-b²=a²-a²/3=a²(2/3)
∴e²=2／3,e=√6/3
要使∠OQA＞60°,a不变,b要变小,c就增大
∴√6/3≤e＜1
貌似得证明Q在Y轴上时∠AQB最大
设：QA=a,QB=b,AB=c(c为常数）,∠AQB=θ
由余弦定理得
cosθ=(a^2+b^2-c^2)/2ab
当a=b时,分母取得最大值（2ab≤a^2+b^2),分子取得最小值（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)
即a=b时,cosθ最小,cosθ在（0＜θ＜π）是减函数,所以cosθ最小时,θ最大
再问： 怎样证明在y轴上时角度最大呢?
再答： 已经回答了，余弦定理 a=b就是在y轴的时候
再问： 但是我用余弦定理没证出来，我提问主要是想看一下用余弦定理的证明过程，麻烦证一下吧。
再答： 当a=b时，分母取得最大值a^2+b^2（2ab≤a^2+b^2)， 分子取得最小值2ab-c^2（a^2+b^2-c^2≥2ab-c^2)此时c^2是常数 a=b时cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab=2ab-c^2/a^2+b^2 分子最小，分母最大，cosC的值就是最小呀
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