求椭圆方程交线点已知一直线与椭圆相交,直线水品线夹角已知,交线距离已知,椭圆方程已知.求相交的点.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 09:49:37

求椭圆方程交线点
已知一直线与椭圆相交,直线水品线夹角已知,交线距离已知,椭圆方程已知.求相交的点.

已知：一直线与椭圆相交,直线与水平线的夹角已知；
直线被椭圆截取的弦的弦长已知,标准椭圆方程已知.
求：相交的点的坐标
假设标准椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1,(a>b>0)——（1）
由于直线与水平线的夹角已知,那么直线的斜率就已知
(假定夹角不是直角,若是直角,那这个题就很简单了,你也不会问!),
设直线斜率为k,与y轴交于t,则设直线方程为y=kx+t,——（2）
将（2）代入（1）,得到一个关于x的一元二次方程,为
(a²k²+b²)x²+(2a²k)x+(a²t²-a²b²)=0——（3）
由于直线与椭圆相交出了一段弦,则交点应有两个,
即方程(3)的判别式Δ>0,即Δ=(2a²k)²-4×(a²k²+b²)×(a²t²-a²b²)>0
设该方程的两个根为x1和x2,则两交点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)；
那么由已学知识,可知已知的弦长L为：
L=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)=√(1+k²)×|x2-x1|
=√((1+k²)×[(x1+x2)²-4x1x2])=√(1+k²)×(√Δ/|(a²k²+b²)|)
代入Δ,得
L=√(1+k²)×(√((2a²k)²-4×(a²k²+b²)×(a²t²-a²b²))/|(a²k²+b²)|)——（4）
可以发现,方程（4）是一个只关于未知数t的方程,解得：
t²=((2a²k)²-((L²(a²k²+b²)²)/(1+k²)))/(4a²(a²k²+b²))+b²
将t²的值代入方程(3),得：
(a²k²+b²)x²+(2a²k)x+(a²(((2a²k)²-((L²(a²k²+b²)²)/(1+k²)))/(4a²(a²k²+b²))+b²)-a²b²)=0——（5）
由方程（5）解出x1和x2,再代入直线方程（2）,
便可求出两交点的坐标(x1,y1)、(x2,y2)了.
代数式运算复杂!无论怎么看,这样的问题的运算过程简单不了的!

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