平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/11 19:24:44

平面直角坐标系中,已知A(-3,0)B(1,0)C(0,3),在AC上是否存在点M,使三角形AOM与三角形ABC相似,
若存在,求出点M的坐标,不存在,说明理由.

存在两个M点
1.过O作OM平行BC 交AC于M,因为OM∥CB,角MOA=角CBA,角A是公共角
则三角形AOM∽三角形ABC
设直线AC的方程为Y=AX+B,把A,B两点坐标代入则
-3A+B=0
3=B
解得A=1 所以直线AC的方程为Y=X+3
设直线BC的方程为Y=CX+D,把C,B两点坐标代入则
C+D=0
3=D
解得C=-3 所以直线BC的方程为Y=-3X+3
因为OM∥BC,且OM过原点O,所以OM的方程为Y=-3X
又M为两直线的交点,设坐标为（X,Y)
Y=X+3
Y=-3X
解得 X=-3/4 Y=9/4 M点坐标（-3/4,9/4）
2.因为AC²=AO²+CO² AC=3根号2 BC²=CO²+BO² BC=根号10
过点O作OM,使得角MOA=角ACB,同样三角形AOM∽三角形ABC
OM:BC=AO：AC
OM=BC*AO/AC=根号10* 3/（3根号2）=根号5
过M作MN⊥X轴,交于N,因为ABO为直角等腰三角形,则AN=MN,
设ON=X 则NM=AN=AO-ON=3-X
因此 X²+(3-X)²=OM²=5
解得：（2X-4)(X-1)=0 X1=2(不合题意,舍去）,X2=1
所以MN=2
M点的坐标为（-1,2）