广义积分的敛散性不是说发散加发散可以收敛吗?比如x和-x,在x趋近于正无穷时.但是书上关于广义积分那一节,积分上限为正无
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 11:19:27
广义积分的敛散性
不是说发散加发散可以收敛吗?比如x和-x,在x趋近于正无穷时.但是书上关于广义积分那一节,积分上限为正无穷,下限为负无穷,拆成一个上限为正无穷,下限为c和上限为c,下限为负无穷两个广义积分之和.然后特别说明只有后两者都收敛,之前那个广义积分才收敛,只要有一个发散,那之前那个广义积分就发散.那发散+发散=收敛不是也可以吗?还有上下限为a,b,中间含了一个瑕(奇)点c,拆成上下限a,c和c,b之和,也是要求后两者都收敛,前者才收敛.这到底是怎么回事?
不是说发散加发散可以收敛吗?比如x和-x,在x趋近于正无穷时.但是书上关于广义积分那一节,积分上限为正无穷,下限为负无穷,拆成一个上限为正无穷,下限为c和上限为c,下限为负无穷两个广义积分之和.然后特别说明只有后两者都收敛,之前那个广义积分才收敛,只要有一个发散,那之前那个广义积分就发散.那发散+发散=收敛不是也可以吗?还有上下限为a,b,中间含了一个瑕(奇)点c,拆成上下限a,c和c,b之和,也是要求后两者都收敛,前者才收敛.这到底是怎么回事?
之所以要要2个都收敛,是因为那2个极限里面的趋近过程是独立的.
比如∫(-1→1)dx/x,这个转化为∫(-1→0)dx/x+∫(0→1)dx/x,也就是lim(a→0-)∫(-1→a)dx/x+lim(b→0+)∫(b→1)dx/x.这里a和b是独立的,没有a+b=0这种美好的关系.这样,a比b趋近得慢一些就会使得出的值不等于那个理想的0,也就是说没有极限.
再问: 说的有一定道理。那么发散+发散=收敛应该怎么理解?或者说该如何区分发散+发散是否收敛? 还有就上面你举的那个例子,从定积分的几何意义上来讲,由对称性在(-1→1)上面积应该相等,而符号刚好相反,定积分应该=0,这又该如何解释?
再答: 你所谓的发散+发散=收敛其实是由于趋近的过程中自变量是有某种关系的,比如lim(x→+∞)x+(-x)其实是lim(a→+∞)a+lim(b→+∞)(-b)这个极限里面有a=b这个关系。 至于你说的对称性,那个定积分有专门的名称,叫主值意义下的定积分。在这里是规定了趋近时的关系的。
比如∫(-1→1)dx/x,这个转化为∫(-1→0)dx/x+∫(0→1)dx/x,也就是lim(a→0-)∫(-1→a)dx/x+lim(b→0+)∫(b→1)dx/x.这里a和b是独立的,没有a+b=0这种美好的关系.这样,a比b趋近得慢一些就会使得出的值不等于那个理想的0,也就是说没有极限.
再问: 说的有一定道理。那么发散+发散=收敛应该怎么理解?或者说该如何区分发散+发散是否收敛? 还有就上面你举的那个例子,从定积分的几何意义上来讲,由对称性在(-1→1)上面积应该相等,而符号刚好相反,定积分应该=0,这又该如何解释?
再答: 你所谓的发散+发散=收敛其实是由于趋近的过程中自变量是有某种关系的,比如lim(x→+∞)x+(-x)其实是lim(a→+∞)a+lim(b→+∞)(-b)这个极限里面有a=b这个关系。 至于你说的对称性,那个定积分有专门的名称,叫主值意义下的定积分。在这里是规定了趋近时的关系的。
关于广义积分的问题!广义积分∫x^3e^(-x)dx积分上限为:正无穷积分下限为:0怎么解出的答案.
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