设函数f（x），g（x）在[a，b]上内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 23:43:20

设函数f（x），g（x）在[a，b]上内二阶可导且存在相等的最大值，又f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：
（Ⅰ）存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；
（Ⅱ）存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

证明：（I）由f（x），g（x）在（a，b）内存在相等的最大值，
①若在某点c∈（a，b）同时取得最大值，则f（c）=g（c），此时的c就是所求点，即存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）；
②若两个函数取得最大值的点不同，设f（c）=maxf（x），g（d）=maxg（x），f（c）=g（d）．
则有f（c）-g（c）＞0，g（d）-f（d）＜0，
因此函数F（x）=f（x）-g（x）在[c，d]或[d，c]上满足零点定理的条件，
故在（c，d）或（d，c）内肯定存在η，使得f（η）=g（η）
综合①②，存在η∈（a，b），使得f（η）=g（η）
（II）由（1）和洛尔定理在区间（a，η），（η，b）内分别存在一点{ξ}_{1}和{ξ}_{2}，使得
f（ξ₁）=0，f′（ξ₂）=0
在区间（ξ₁，ξ₂）内对函数F（x）=f（x）-g（x）用洛尔定理，即
∃ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（a，b），F''（ξ）=f''（ξ）-g''（ξ）=0
即∃ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

设f(x),g(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且f(a)=f(b)=0,证明至少存在一点ξ∈（a,b). 设a,b属于R,且a>0,函数f（x）=x^2+ax+2b,g（x）=ax+b,在【-1,1】上g（x）的最大值是2 , 设a,b属于R,且a＞0,函数f（x）=x²+ax+2b,g(x)=ax+b,在[-1,1]上g（x）的最大值设f（x）和g（x）在闭区间【a,b】上连续,在开区间（a,b）内可导,且f（a）=f（b）=0.证明:至少存在一点c属不动点的证明设f(x)在上=[a,b]连续,且f(D)=[a,b],证明存在使得g=f(g) 若函数g(X).f(X)都是奇函数,F（X)=a*g(x)+b*f(X)+2在（0,+∞ ）上有最大值5, 设函数f(x)在[a,b]上两阶可导,且f'(a)=f'(b)=0,证明：存在ξ∈（a,b）使得设f（x），g（x）都是定义在R上的奇函数，且F（x）=3f（x）+5g（x）+2，若F（a）=b则F（-a）等于（已知函数f（x）的定义域为【a,b】且a+b》0,求g（x）=f（x）-f（-x）的定义域函数增减性问题设函数f(x)·g(x)在区间（a,b）内单调递增,证明函数h(x)=max{f(x),g(x)}与H(x 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）-g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零设f(x),g(x),在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且f(x)g(x)的导数相等,证明是否存在常数C,使得f(