微积分计算（高手进）0）2πy√[1+(y')^2]dx （球的表面积）,答案是4πR^2,我要的是过程,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 13:48:21

微积分计算（高手进）
0）2πy√[1+(y')^2]dx （球的表面积）,答案是4πR^2,我要的是过程,

分析判断了半天..理解有两反面的,虽然你给的题意很模糊..
我想看成y是x的函数的话,y^2+x^2=R^,这是关系
当y大于0与小于零是对称的情况,那么计算大于0的情况结果乘2就是最后结果
分析:如果利用第一类曲面积分计算球表面,得到的式子是个2重积分,跟你的肯定不一样,除非经过化简. 于是你的式子应该是从第一类曲线积分上考虑.
我们知道第一类曲线积分:曲线L的积分∫(L)dL=∫(a,b)√[1+(y')2]dx 其中点(x,y)在L上
于是你的式子实则为一个曲线积分,其几何意义是将半球的一个纵截面在球表面上得到的曲线,用在xoy平面上的投影的方法即计算第一类曲线积分的方法计算出来.再通过旋转2π求出表面积.
也许这个题从一个揭示出了一点第一类曲线积分与第一类曲面积分的关系,那当然斯托克斯公式理论上也可以证明你的问题.
回到问题上来,y=√(R^2-x^2).y'=-x/√(R^2-x^2).
化简进去得到∫(0,R)2πRdx=2πR^2
如前所述,要给这个结果乘以2,得到最后结果4πR^2为球表面积.
其实求球表面或者什么体的表面用第一类曲面积分最简便.

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