作业帮考研线代特征值特征向量问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 08:23:25
考研线代特征值特征向量问题
这个题目我都能看懂,所以不用解释知识点的问题,我就是想问,关于一个实对称,我知道它的不同特征值对应的特征向量是一定正交的.题目已知λ3对应的特征向量(1,-1,-1)',所以λ1=λ2对应的特征向量一定与λ3对应的特征向量(1,-1,-1)'正交,但是题目假设λ1=λ2对应的特征向量为(x1,x2,x3)',不代表(x1,x2,x3)'只要满足与λ3正交而得出的两个线性无关解就一定是λ1=λ2对应的特征向量吧? 这说明反之也会成立?好像没有这个性质吧?
这个题目我都能看懂,所以不用解释知识点的问题,我就是想问,关于一个实对称,我知道它的不同特征值对应的特征向量是一定正交的.题目已知λ3对应的特征向量(1,-1,-1)',所以λ1=λ2对应的特征向量一定与λ3对应的特征向量(1,-1,-1)'正交,但是题目假设λ1=λ2对应的特征向量为(x1,x2,x3)',不代表(x1,x2,x3)'只要满足与λ3正交而得出的两个线性无关解就一定是λ1=λ2对应的特征向量吧? 这说明反之也会成立?好像没有这个性质吧?
是这样:2重特征值1一定有两个与(1,-1,-1)^T正交的线性无关的特征向量
而与(1,-1,-1)^T正交的线性无关的向量恰好有2个
所以这两个与(1,-1,-1)^T正交的线性无关的向量一定就是属于特征值1的特征向量
再问： 给我感觉x1,x2,x3有随机性啊，因为这个特征值数字1并没有起到实质性的作用啊，因为做题中并没有用到1这个条件，也就是说题目给λ1=λ2=1这个条件也好，给λ1=λ2=2也好，题目最后求出的ξ1和ξ2不都是一样的答案么？
再答： 尽管 x1,x2,x3有随机性, 但对应的基础解系是等价的 ξ1和ξ2是一样, 但A就不一样了
再问： 好像是的,但是怎么判断基础解系等价呢?
再答： 这显然. 基础解系是由可以表示所有解的线性无关的解向量构成的 基础解系不唯一,类似于向量组的极大无关组不唯一但相互等价
而与(1,-1,-1)^T正交的线性无关的向量恰好有2个
所以这两个与(1,-1,-1)^T正交的线性无关的向量一定就是属于特征值1的特征向量
再问： 给我感觉x1,x2,x3有随机性啊，因为这个特征值数字1并没有起到实质性的作用啊，因为做题中并没有用到1这个条件，也就是说题目给λ1=λ2=1这个条件也好，给λ1=λ2=2也好，题目最后求出的ξ1和ξ2不都是一样的答案么？
再答： 尽管 x1,x2,x3有随机性, 但对应的基础解系是等价的 ξ1和ξ2是一样, 但A就不一样了
再问： 好像是的,但是怎么判断基础解系等价呢?
再答： 这显然. 基础解系是由可以表示所有解的线性无关的解向量构成的 基础解系不唯一,类似于向量组的极大无关组不唯一但相互等价