已知一个三角形的两内角平分线相等,求证此三角形为等腰三角形．

已知一个三角形的两内角平分线相等,求证此三角形为等腰三角形．

传说中的斯坦纳定理,很难,这是我整理的多个方法
1在△ABC中∠A的平分线交BC于点D求证AD²=AB.AC-BD.CD
过B做BE,使得∠CBE=∠A/2,交AD的延长线于E
因为∠DBE=∠A/2=∠DAC,∠BDE=∠ADC,
所以△BDE相似于△ADC,于是BD×CD=AD×DE,——（1）
并且∠C=∠E 因为∠BAE=∠DAC=∠A/2,∠C=∠E,
所以△ABE相似于△ADC,于是AB×AC=AD×AE——（2）
（2）-（1）得：AB×AC-BD×CD=AD×AE-AD×DE=AD×(AE-DE)=AD^2
2.三角形ABC,∠B、∠C 的角平分线 BD=CE ,求证AB=AC
法一：根据上面结论
AB*BC-CD*AD=AC*BC-AE*BE
即BC×（BE＋AE）－DC×DA＝CB×（CD＋AD）－EB×EA
BC×AD＝BA×CD,CB×AE＝CA×BE
整理得BC×BE＋（CD＋DA）×BE－DC×DA＝CB×CD＋（BE＋EA）×CD－EB×EA
移项并因式分解得（BE－CD）（BC＋EA＋DA）＝0因此BE＝CD此时易证AB＝AC
法二：BD^2=ab(1-（c^2/(a+b)^2) CE^2=ac(1-（b^2/(a+c)^2)
因为BD=CE,所以
ab(1-（c^2/(a+b)^2)-ac(1-（b^2/(a+c)^2)=0,
上式两边除以a,通分后,对分子进行因式分解,则得到分子为
（b-c)(a+b+c)(a^3+(a^2+bc)(b+c)+3abc),所以只能b-c=0,命题得证.
法三：
设三角形ABC,角B、角C的平分线是BD、CE 作∠BDF=∠BCE;并使DF=BC
∵BD=CE ∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠EBC=∠BFD
设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β ∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β);
∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); ∴∠FBC=∠CDF
∵2α+2βAC,这样∠ACB>∠ABC,从而∠BCE=∠ACE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠ABD=∠CBD.
在△BCE和△CBD中,因为BC=BC,BD=CE,∠BCE>∠CBD所以 BE>CD.(1)
作平行四边形BDFE,则∠EBD=∠EFD,EB=DF BD=EF=CE,连CF,
故△EFC为等腰三角形,所以∠EFC=∠ECF
因为∠ACE>∠ABD=EFD,所以∠DFC>∠DCF故得 DC>DF=BE.(2)
显然(1)与(2)是矛盾的,故假设AB≠AC不成立,于是必有AB=AC.
法五：在△ABC中,假设∠B≥∠C,则可在CE上取一点E',使∠E'BD=∠ACE,这有CE≥CE'.延长BE'交AC于A',有ΔA'BD∽ΔA'CE'.
从而A'B/A'C=BD/CE'≥BD/CE=1.
那么在△A'BC中,由A'B≥A'C,得:
∠A'CB≥∠A'BC,即∠C≥(∠B+∠C)/2,故∠B≤∠C.
再由假设∠B≥∠C,即有∠B=∠C.
所以△ABC为等腰三角形.
法六：
在△ABC中,BD,CE为其角平分线,且BD=CE 　　设∠ABD=∠CBD=x,∠ACE=∠BCE=y 　　根据张角定理,有 　　2cosx/BD=1/AB+1/BC 　　2cosy/CE=1/AC+1/BC 　　则2*AB*BC*cosx/(AB+BC)=BD=CE=2*AC*BC*cosy/(AC+BC) 　　即(AB*(AC+BC))/(AC*(AB+BC))=cosy/cosx 　　利用分比定理.并对cosy-cosx使用和差化积 　　AB-AC=(-(2*AC*(AB+BC))/(BC*cosx))*sin((y+x)/2)*sin((y-x)/2) 　　若AB>AC,则上式左端为正,右端为负 　　若AB