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来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 15:44:34
用柯西中值定理证明:当x>0时,e^px>1+px(p>0),并由此证明对任意n>0,lim(x趋于正无穷)e^x/x^n=正无穷
1、证明：
令f(x)=e^px g(x)=px（*）
Cauchy中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)（ξ∈(min(a,b),max(a,b))）
则令b=x,a=0,结合（*）有：(e^px-1)/px=pe^pξ/p=e^pξ（ξ∈(0,x)）
=>e^px=px*e^pξ+1（#）
由于p和ξ均为正,故e^pξ>1
故（#）式可化为：e^px=px*e^pξ+1>px*1+1=px+1
证毕
2、第1题的结论不提供的放缩尺度太大了!以致于对这一题一点价值也没有了
这道题这样做：
lim(x->+∞)e^x/x^n
=lim(x->+∞)[1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)[x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)x/(n+1)!=+∞
结论得证
令f(x)=e^px g(x)=px（*）
Cauchy中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'(ξ)/g'(ξ)（ξ∈(min(a,b),max(a,b))）
则令b=x,a=0,结合（*）有：(e^px-1)/px=pe^pξ/p=e^pξ（ξ∈(0,x)）
=>e^px=px*e^pξ+1（#）
由于p和ξ均为正,故e^pξ>1
故（#）式可化为：e^px=px*e^pξ+1>px*1+1=px+1
证毕
2、第1题的结论不提供的放缩尺度太大了!以致于对这一题一点价值也没有了
这道题这样做：
lim(x->+∞)e^x/x^n
=lim(x->+∞)[1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)[x^(n+1)/(n+1)!+o(x^(n+1))]/x^n
>lim(x->+∞)x/(n+1)!=+∞
结论得证
用拉格朗日中值定理证明不等式 当x>0时,x*e^x>e^x-1
用拉格朗日中值定理证明e*x>1+x,(x>0)
用拉格朗日中值定理证明 当x>0时,ln{[(e^x)-1]/x}
当x趋于正无穷时,lim f(x)=1.那么,连续函数f(x)在（0,正无穷）区间是有界的么?怎么证明
用中值定理证明e的x次方大于1加x（x不等于0）
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证明当n趋于正无穷,∫上1下0,x的n次方／(1+x)dx=0
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证明e^x+1~x(x趋于0)
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大一极限证明题lim(n--->-∞)2^x=0(lim当n趋于负无穷时 2的X次方的极限为0)
求x趋于0时lim(e^x-1)/x