作业帮线性代数 用相似对角化方法计算矩阵的k次方
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 01:31:28
线性代数 用相似对角化方法计算矩阵的k次方
已知矩阵A：
1-p p
q 1-q
p+q≠0.
用相似对角化方法,计算A的100次方
已知矩阵A：
1-p p
q 1-q
p+q≠0.
用相似对角化方法,计算A的100次方
|A-λE| =
1-p-λ p
q 1-q-λ
c1+c2
1-λ p
1-λ 1-q-λ
= (1-λ)(1-p-q-λ).
所以A的特征值为 1,1-p-q.
(A-E)X = 0 的基础解系为:a1=(1,1)'
(A-(1-p-q)E)X = 0 的基础解系为:a2=(-p,q)'
令P=(a1,a2)=
1 -p
1 q
则 P^-1AP = diag(1,1-p-q)
所以 A=Pdiag(1,1-p-q)P^-1
所以 A^100 = Pdiag(1,(1-p-q)^100)P^-1
由 P^-1 = [1/(p+q)]*
q p
-1 1
得 A^100 = [1/(p+q)]*
q+p(1-p-q)^100 p-p(1-p-q)^100
q-q(1-p-q)^100 p+q(1-p-q)^100
1-p-λ p
q 1-q-λ
c1+c2
1-λ p
1-λ 1-q-λ
= (1-λ)(1-p-q-λ).
所以A的特征值为 1,1-p-q.
(A-E)X = 0 的基础解系为:a1=(1,1)'
(A-(1-p-q)E)X = 0 的基础解系为:a2=(-p,q)'
令P=(a1,a2)=
1 -p
1 q
则 P^-1AP = diag(1,1-p-q)
所以 A=Pdiag(1,1-p-q)P^-1
所以 A^100 = Pdiag(1,(1-p-q)^100)P^-1
由 P^-1 = [1/(p+q)]*
q p
-1 1
得 A^100 = [1/(p+q)]*
q+p(1-p-q)^100 p-p(1-p-q)^100
q-q(1-p-q)^100 p+q(1-p-q)^100