如果一个函数的导函数为奇函数,那么原函数为偶函数嘛?还是奇函数?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 13:19:28

已知：F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x),x∈(-A,A),A为常数
求证：F(-x)=F(x)
证明：当x∈(-A,A),A为常数,
令x=任意t,t∈(-A,A),A为常数,
∵F'(x)=f(x);f(x)=-f(-x)
∴F(-t)
=∫[下限-A,上限-t]F'(-t)
=∫[下限-A,上限-t]f(-t)
=∫[下限-A,上限-t][-f(t)]
=-∫)=∫[下限-A,上限-t]f(t);
而F(t)
=∫[下限-A,上限t]F'(t)
=∫[下限-A,上限t]f(t)
=∫[下限-A,上限-t]f(t)+∫[下限-t,上限t]f(x)
{∵f(x)=-f(-x),∴∫[下限-t,上限t]f(x)=0}
=∫[下限-A,上限-t]f(t)
∴F(-x)=F(x)得证
所以,导函数是奇函数则原函数是偶函数.
如果要通俗证明的话可以利用函数图像的性质.
比如,做一个以原点对称的任意奇函数图形,它在定义域内与x轴围成的面积就是其原函数的函数图形.
由于x轴下方的面积是为负,而函数图像是关于原点对称的,也就是说[a,o]与[0,a]（a属于定义域）范围内的图像总是分处在x轴的上下两边,并且面积是相等的.因此,这两块面积相加的和总是等于零.
原函数取某个值的图像是从定义域左端到定义域上某点（x)范围内图形的面积,而从x到-x范围,图像的面积为零.因此,原函数取某个值（x)的图像面积等于它取（－x)的图像的面积.这意味着原函数在这两点上是等值的.由于x是任意取的值,因此,可以说明图像上所有点都具有这个性质,即图像面积关于y轴对称.
这样,就可以证明原函数是偶函数.

证明:连续奇函数的一切原函数为偶函数,连续偶函数的原函数中有一个为奇函数. [数学]若一个函数的反函数为奇函数,那可以判断原函数为奇函数吗? 对数函数奇函数还是偶函数? 设函数fx,gx为定义域相同的奇函数,试问Fx＝fx加gx是奇函数还是偶函数? 证明偶函数的导函数是奇函数,证明奇函数的导函数是偶函数.如果不行,能怎么来呢? 设f(x)在（-∞,+∞)上可导,试证明：（1）奇函数的导函数为偶函数（2）偶函数的导函数为奇函数导数是奇函数的原函数一定是偶函数吗? 导数是偶函数的原函数一定是奇函数吗? 1、偶函数的原函数是奇函数.2、奇函数的原函数是偶函数.这两句话是否正确? 若原函数为奇函数,它的反函数呢若分段函数的两段函数一段为奇函数一段为偶函数最后如何作答? 指数、对数函数是奇函数还是偶函数?