已知圆O的方程为x2+y2=10,求过点A(2,1)的弦的中点p的轨迹方程

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 20:22:33

设弦的两端点为M(x1,y1),N(x2,y2),其中点P(xo,yo),则
x1²+y1²=10,x2²+y2²=10,两式相减得
x1²-x2²+y1²-y2²=0,变形得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
由中点公式有x1+x2=2xo,y1+y2=2yo,代入上式得2xo(x1-x2)+2yo(y1-y2)=0,
①若x1≠x2,也就是弦不与x轴垂直,则上式整理得 (y1-y2)/(x1-x2)= -xo/yo
上式左边实际上是弦的斜率,因为弦过点A(2,1),所以斜率又可写为(yo-1)/(xo-2),所以
-xo/yo=(yo-1)/(xo-2),化简整理得(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4
②若x1=x2,也就是弦与x轴垂直,因为弦过点A(2,1),所以x1=x2=2,代入圆O的方程可求得y1、y2=±√6,所以弦的两端点为M(2,√6),N(2,-√6),进而求得中点P (2,0),代入①得出的(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4,发现也成立,也就是说,当x1=x2时,(xo-1)²+(yo-1/2)²=5/4也成立.
综上所述,弦的中点P的轨迹方程为(x-1)²+(y-1/2)²=5/4.

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