已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/26 04:45:46
已知函数f(x)是(0,+∞)上的可导函数,若xf'(x)>f(x)在x>0时恒成立.
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
(1)求证:函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
(2)当x1>0,x2>0时,有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
1、因为g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在(0,+∞)上是增函数,
所以当x1>0,x2>0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/(x1+x2)+x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
又xf'(x)>f(x) 在x>0时恒成立 所以xf'(x)-f(x)>0
所以g`(x)=(f(x)/x)`=(xf'(x)-f(x))/x^2>0在x>0时恒成立
函数g(x)=f(x)/x在(0,+∞)上是增函数.
2、由1知函数g(x)= f(x)/x在(0,+∞)上是增函数,
所以当x1>0,x2>0时,有x1+x2>x1 有g(x1+x2)>g(x1)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)/x1,
从而x1*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)
同理有x1+x2>x2 有g(x1+x2)>g(x2)
有f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)/x2成立,
从而x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x2)
两式相加得x1*f(x1+x2)/(x1+x2)+x2*f(x1+x2)/(x1+x2)>f(x1)+f(x2)
f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).
已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)是f(x)的导函数,且xf'(x)-f(x)>0在(0,+∞)上恒成立
f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足xf'(x)-f(x)
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时,不等式f(x)+xf′(x)>0恒成立,若a=20.3
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=30.3•f
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(-∞,0)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立,若a=2^0.2f
设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)且2f(x)+xf'(x)>x2 下面的不等式在R上恒成立的是 A.f(x)>0
函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,且当x>0时xf'(x)-f(x)/x2>0恒成立,则不等式xf(x)〉
已知f(x)为定义在(0,+∞)上的可导函数,且xf'(x)-f(x)>0,则不等式x^2f(1/x)>f(x)的解集为
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)满足:2f(x)+xf′(x)>xf(x),则f(x)在区间[
设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f(x)+xf'(x)>x^2.求证:f(x)>0在R上恒成立.
已知定义在(0,+∞)的可导函数f(x)满足xf'(x)-f(x)>0且f(x)>0
#高考提分#已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x∈(0,+∞)时不等式f(x)+xf′(x)<0成立