设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件：

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/06/02 01:50:11

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R)满足下列条件：
①当x∈R时,f(x)的最小值为0,且f(x-1)=f(-x-1)成立；
②当x∈(0,5)时,x≤f(x)≤2|x-1|+1恒成立.
（1）求f(1)的值；（2）求f(x)的解析式；
（3）求最大的实数m(m＞1),使得存在实数t,只要当x∈[1,m],就有f(x+t)≤x成立.
注：（1）（2）两问我已写出（1）f(x)=1 (2)f(x)=2/7x^2+4/7x+1/7
但希望你们能把（1）,（2）问再做一遍,以免我写错.

（1）∵当x∈（0,5）时,x≤f（x）≤2|x-1|+1恒成立
∴1≤f（1）≤1
∴f（1）=1；
（2）∵当x∈R时,f（x）的最小值为0,且图象关于直线x=-1对称；
∴ -b/2a=-1,f（-1）=a-b+c=0
又∵f（1）=a+b+c=1
∴ a=1/4,b=1/2,c=1/4
∴ f(x)=1/4(x+1)^2；
（3）因f（x-4）=f（2-x）,则函数的图象关于x=-1对称,∴ -b/2a=-1,b=2a,
由（3）,x=-1时,y=0,即a-b+c=0,由（1）得,f（1）≥1,由（2）得,f（1）≤1,
则f（1）=1,即a+b+c=1．又a-b+c=0,则b= 1/2,a= 1/4,c= 1/4,故f（x）= 1/4x^2+ 1/2x+ 1/4．
假设存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f（x+t）≤x．
取x=1,有f（t+1）≤1,即 1/4（t+1）^2+ 1/2（t+1）+ 1/4≤1,解得-4≤t≤0,
对固定的t∈[-4,0],取x=m,有f（t+m）≤m,即 1/4（t+m）^2+ 1/2（t+m）+ 1/4≤m．
化简有：m^2-2（1-t）m+（t^2+2t+1）≤0,解得1-t-根号下-4t≤m≤1-t+根号下-4t,
故m≤1-t- 根号下-4t≤1-（-4）+根号下-4(-4)=9
当t=-4时,对任意的x∈[1,9],
恒有f（x-4）-x= 1/4（x^2-10x+9）= 1/4（x-1）（x-9）≤0．
∴m的最大值为9．

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