作业帮对线性代数一个定理5 的困惑,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 19:40:51
对线性代数一个定理5 的困惑,
在书上“线性相关性的判别定理”一节中有如下两个定理：
定理3：
若向量组 a1,a2,a3,…..,ar 线性相关,则a1,a2,a3,…..,ar,ar+1,…..,am 也线性相关.
这个没问题,我能理解.
关键是下面这个定理5,我怎么都感觉有问题,我错在什么地方.
定理5：
设有两个向量组
A：aj=(a1j,a2j,….,arj)’,j=1,2,….,m;
B：bj=(a1j,a2j,….,arj,ar+1,j)’,j=1,2,….,m;
即bj 是由 aj 加上一个分量而得.若向量组 A 线性无关,则向量组 B 也线性无关.
感觉不对啊?
因为B是A的扩展,根据前面的定理3,A如果线性相关,则B必线性相关.而定理5感觉是他的否命题,否命题不一定是正确的,只有逆否命题才与原命题是等价的.定理3的逆否定理应该是若B线性无关,则A也线性无关.这个才是正确的.
书上对定理5的证明如下（我看不懂,而且感觉证明过程存在问题）：
证：记 A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm).
由于方程组 Bx=0 的前 r 个方程即是 Ax=0 的 r 个方程,故方程组 Bx=0 的解一定是 Ax=0 的解.（这里说B的解是A的解我认同）
因为向量组A线性无关,所以Ax=0 只有零解,从而 Bx=0 也只有零解,因此向量组B线性无关.（证毕）
证明中的最后一句话我不认同,因为 B 是A 的扩展,说B的解是也是A的解,可以理解,但倒过来就不行,因为A的范围小,它的解不一定是 B
我觉得证明中最后一句话应该倒过来说：
因为向量组B线性无关,所以Bx=0只有零解,从而 Ax=0 也只有零解,因此向量组 A线性无关.实际上,这样说的话,就是定理3的逆否定理,也就正确了.
谁能帮我看一下,定理5要怎样理解?我错在哪里?书上的定理总不可能出错吧?
在书上“线性相关性的判别定理”一节中有如下两个定理：
定理3：
若向量组 a1,a2,a3,…..,ar 线性相关,则a1,a2,a3,…..,ar,ar+1,…..,am 也线性相关.
这个没问题,我能理解.
关键是下面这个定理5,我怎么都感觉有问题,我错在什么地方.
定理5：
设有两个向量组
A：aj=(a1j,a2j,….,arj)’,j=1,2,….,m;
B：bj=(a1j,a2j,….,arj,ar+1,j)’,j=1,2,….,m;
即bj 是由 aj 加上一个分量而得.若向量组 A 线性无关,则向量组 B 也线性无关.
感觉不对啊?
因为B是A的扩展,根据前面的定理3,A如果线性相关,则B必线性相关.而定理5感觉是他的否命题,否命题不一定是正确的,只有逆否命题才与原命题是等价的.定理3的逆否定理应该是若B线性无关,则A也线性无关.这个才是正确的.
书上对定理5的证明如下（我看不懂,而且感觉证明过程存在问题）：
证：记 A=(a1,a2,…,am),B=(b1,b2,…,bm).
由于方程组 Bx=0 的前 r 个方程即是 Ax=0 的 r 个方程,故方程组 Bx=0 的解一定是 Ax=0 的解.（这里说B的解是A的解我认同）
因为向量组A线性无关,所以Ax=0 只有零解,从而 Bx=0 也只有零解,因此向量组B线性无关.（证毕）
证明中的最后一句话我不认同,因为 B 是A 的扩展,说B的解是也是A的解,可以理解,但倒过来就不行,因为A的范围小,它的解不一定是 B
我觉得证明中最后一句话应该倒过来说：
因为向量组B线性无关,所以Bx=0只有零解,从而 Ax=0 也只有零解,因此向量组 A线性无关.实际上,这样说的话,就是定理3的逆否定理,也就正确了.
谁能帮我看一下,定理5要怎样理解?我错在哪里?书上的定理总不可能出错吧?
你把两个定理弄混了.第一个是多添向量,注意,是原来有r个向量,后来又加了几个向量,变成m个向量.向量个数变多了.第二个向量个数没有变多,是每个向量的分量变多了,也就是向量从r维的变为r+1维的.两个命题没有什么否命题,逆否命题的关系.
再问： 一针见血，谢谢。 不过我还有疑问。假如A是列向量组，每列增加一个分量，得到 B，B与A列数相同，行数不同。这时再把他们看成行向量的话，那么 B 不就相当于在 A 的基础上 增加了 向量吗？这不是定理3的情况吗？
再答： 但是你把列向量看成行向量后，原来是线性无关的，现在是否是线性无关的就不清楚了。
再问： 你终于解决了我心头的疑惑，这个问题此前我书上反反复复看了无数遍，看了好多天了，就是卡在那里下不去。根本问题就是你说的把增加的向量跟增加的分量搞混了，以及行列随意转置导致了理解上的问题。谢谢！
再问： 一针见血，谢谢。 不过我还有疑问。假如A是列向量组，每列增加一个分量，得到 B，B与A列数相同，行数不同。这时再把他们看成行向量的话，那么 B 不就相当于在 A 的基础上 增加了 向量吗？这不是定理3的情况吗？
再答： 但是你把列向量看成行向量后，原来是线性无关的，现在是否是线性无关的就不清楚了。
再问： 你终于解决了我心头的疑惑，这个问题此前我书上反反复复看了无数遍，看了好多天了，就是卡在那里下不去。根本问题就是你说的把增加的向量跟增加的分量搞混了，以及行列随意转置导致了理解上的问题。谢谢！