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4月6日重庆高考模拟卷三20题请教： 20．已知函数f(x)=(x2-x-a2+a+1)ex(a≠0) （Ⅰ）是否存在实

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 16:11:51
4月6日重庆高考模拟卷三20题请教： 20．已知函数f(x)=(x2-x-a2+a+1)ex(a≠0) （Ⅰ）是否存在实数a使f(x)在R上单调递增？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。 （Ⅱ）若f(x)的极小值为-e，求f(x)的极大值。
请老师帮忙详细解答，谢谢
解题思路： 利用导数的符号判断单调性（熟练运用二次函数的符号特征以及由此确定的三次函数的单调性、极值性），第二问，两种情况（尽管看起来结果一样，但是，对应的a不相等，过程必须分类讨论）
解题过程：
20．已知函数f(x)=(x2-x-a2+a+1)ex(a≠0)
（Ⅰ）是否存在实数a使f(x)在R上单调递增？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。
（Ⅱ）若f(x)的极小值为-e，求f(x)的极大值。
解：( I ) 由 ，
得 ，
欲使 f(x)在R上单调递增，　需且只需 对所有x都成立，
∴ ， 　即 ， 即 ，
∴ 存在符合要求的实数a，　且 ；
( II ) 由 ，可知：
函数f(x)的极小值点、极大值点，分别是方程的大根、小根
由 ， 得 ， 两根为 －a、a－1，
① 若a－1＞－a， 即， 则 a－1为极小值点，－a为极大值点，
　由题意，， 解得 ，
从而，极大值为 ；
② 若 a－1＜－a， 即 ， 则 －a为极小值点，a－1为极大值点，
　由题意，， 解得 ，
　从而，极大值为 ，
综上所述， 当f(x)的极小值为－e时，其极大值为．
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