作业帮证明 对于任意实数AB有A^4+B^4≥½AB(A+B)²
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/07 09:19:44
证明 对于任意实数AB有A^4+B^4≥½AB(A+B)²
当x,y至少有1个为0时,不等式右边=0,左边≥0
不等式成立
当x,y均不为0时,
xy(x+y)^2/2
=xy(x^2+2xy+y^2)/2
=(x^3y+2x^2y^2+xy^3)/2
≤(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2
现在只要证明x^3y+xy^3≤x^4+y^4就可以了.
x^3y+xy^3-x^4-y^4
=x^3(y-x)-y^3(y-x)
=-(y^3-x^3)(y-x)
=-(y-x)^2(y^2+xy+x^2)
由于(y-x)^2≥0
y^2+xy+x^2=(x+y/2)^2+3y^2/4≥0
因此x^3y+xy^3-x^4-y^4≤0
x^3y+xy^3≤x^4+y^4
(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2≤x^4+y^4
不等式成立.
综上,有x^4+y^4≥1/2 xy(x+y)^2
不等式成立
当x,y均不为0时,
xy(x+y)^2/2
=xy(x^2+2xy+y^2)/2
=(x^3y+2x^2y^2+xy^3)/2
≤(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2
现在只要证明x^3y+xy^3≤x^4+y^4就可以了.
x^3y+xy^3-x^4-y^4
=x^3(y-x)-y^3(y-x)
=-(y^3-x^3)(y-x)
=-(y-x)^2(y^2+xy+x^2)
由于(y-x)^2≥0
y^2+xy+x^2=(x+y/2)^2+3y^2/4≥0
因此x^3y+xy^3-x^4-y^4≤0
x^3y+xy^3≤x^4+y^4
(x^3y+x^4+y^4+xy^3)/2≤x^4+y^4
不等式成立.
综上,有x^4+y^4≥1/2 xy(x+y)^2
证明：对于任何实数a,b,都有a²+b²大等于ab
证明：对于任何实数a和b,都有不等式a^2+ab+b^2>=3(a+b-1)
若a,b为任意实数,求a²+ab+b²-a-2b的最小值
对于任意实数a b 定义新运算*如下：a*b=a-b/2ab,试求4*2+6*4+~+2014*2012的值
对于任意两事件A,B.如何证明P(A-B)=PA-P(AB)
对于任意非零实数a,b,定义运算“#”如下：a#b=（a-b）/ab,求2#1+3#2+4#3+……+2007#2006
对于任意非零实数a,b,定义新运算“#”如下：a#b=a-b/ab.求：2#1+3#2+4#3+...+2008#200
对于任意非零实数a,b,定义运算“*”如下：a*b=（a-b）÷ab,则2*1+3*2+4*3+.+2011*2010等
对于任意非零实数a,b,定义运算a*b=ab分之a-b,则2*1+3*2+4*3.+2009*2008=
对于任意非零实数a,b,定义新运数“*”如下：a*b=a-b/ab.求：2*1+3*2+4*3+...+2008*200
对于任意非零实数a、b,定义运算“*”如下a*b=(a-b)/ab,则2*1+3*2+4*3+.+2008*2007的值
对于任意非零实数a、b定义运算*,如a*b=a-b/ab.求2*1+3*2+4*3+.+2009*2008