作业帮求函数y=3
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 17:30:36
求函数y=3
根据题意，函数的定义域显然为（-∞，+∞）．
令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，ymax=f（1）=81，而y=3−x2+2x+3＞0．
∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2
则
f(x1)
f(x2)=3−
x21+2 x1+3÷3−
x22+2x2+3 =3−
x21+2 x1 +3+
x22−2x2−3=3(
x22 −
x21) +2 (x1 −x2)=
3(
x22 −
x21) +2(x1 −x2)＝3(x1−x2) (2−x1−x2)
∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1]
∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0
∴3(x1−x2) (x1+x2+2)＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．
令u=f（x）=3+2x-x2=4-（x-1）2≤4．
∴y=3u是u的增函数，
当x=1时，ymax=f（1）=81，而y=3−x2+2x+3＞0．
∴0＜3u≤34，即值域为（0，81]．
（3）当x≤1时，u=f（x）为增函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越大，u越大推出y越大
即x越大y越大
∴即原函数单调增区间为（-∞，1]；
其证明如下：
任取x1，x2∈（-∞，1]且令x1＜x2
则
f(x1)
f(x2)=3−
x21+2 x1+3÷3−
x22+2x2+3 =3−
x21+2 x1 +3+
x22−2x2−3=3(
x22 −
x21) +2 (x1 −x2)=
3(
x22 −
x21) +2(x1 −x2)＝3(x1−x2) (2−x1−x2)
∵x1＜x2，x1，x2∈（-∞，1]
∴x1-x2＜0，2-x1-x2＞0
∴（x1-x2）（2-x1-x2）＜0
∴3(x1−x2) (x1+x2+2)＜1
∴f（x1）＜f（x2）
∴原函数单调增区间为（-∞，1]
当x＞1时，u=f（x）为减函数，y=3u是u的增函数，
由x越大推出u越小，u越小推出y越小，
即x越大y越小
∴即原函数单调减区间为[1，+∞）．
证明同上．