设a,b,c是3个不同的正整数,正整数k满足ab+bc+ac≥3k∧2-1,证明：a∧3+b∧3+c∧3≥3abc+9k

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/25 01:35:12

设a,b,c是3个不同的正整数,正整数k满足ab+bc+ac≥3k∧2-1,证明：a∧3+b∧3+c∧3≥3abc+9k.

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c^3-3abc
=(a+b)[(a+b)^2-3ab]+c^3-3abc
=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc
=(a+b+c)[(a+b)^2+(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+ac+bc)
=1/2*(a+b+c)[(a^2+b^2)+(a^2+c^2)+(b^2+c^2)+2(ab+ac+bc)]
≥1/2*(a+b+c)*4(ab+bc+ac)
=2(a+b+c)(ab+bc+ac)
a,b,c是3个不同的正整数,最小是1,2,3
所以a+b+c≥6
2(a+b+c)(ab+bc+ac)-9k
≥12(3k^2-1)-9k
=36k^2-12-9k
=12(k^2-1)+9(k^2-k)+15k^2
k为正整数,所以k≥1
12(k^2-1)+9(k^2-k)+15k^2>0
综上
a^3+b^3+c^3-3abc-9k
≥2(a+b+c)(ab+bc+ac)-9k
≥12(k^2-1)+9(k^2-k)+15k^2
>0
即a∧3+b∧3+c∧3≥3abc+9k.成立
有问题追问.

3 4 5 勾股数,3k,4k,5k k是正整数 a b c 勾股数 ak,bk,ck,(k是正整数）勾股数吗? 已知a=k+3,b=2k+2,c=3k-1.求a+b+c+2ab-2bc-2ac的值我们知道345是一组勾股数,那么证明3k,4k,5k(k是正整数)也是一组勾股数吗?一般的,如果a,b,c是一组勾股数, 已知三角形ABC中,三边长分别是a b c,K是大于1的正整数b=2K,a+c=2K的平方,ac=K的4次方-1,你能判若a，b，c是3个不同的正整数，并且abc=16，则ab-bc+ca可能的最大值是（　　）已知：a=1/3k-1,b=1/6k-2,c=1/2k+3,求a的平方+b的平方+c的平方+2ab-2ac-2bc的值已知a＝k＋3,b＝2k＋2,c＝3k－1,求a²＋b²＋c²＋2ab－2bc－2ac的值设k≥1是个奇数,证明对于任意正整数n数1∧k+2∧k+...+n∧k不能被n+2整除设 A={x|x=6k+2,k∈Z} B={x|x=3k-1,k∈Z},C={x|2k,k∈Z},判断ABC之间的关系证明试题已知 ab＋bc＋ac=1 (a b c为正整数) 求证：a b c＞=根号3 已知a=k+3,b=2k+2,c=3k+1.求a²+b²+c²+2ab-2bc-2ac的值已知2∧a=3∧b=6∧c,若(a+b)/c∈(k,k+1),求整数k