作业帮两道有关一元二次方程的难题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 11:37:59
两道有关一元二次方程的难题
x²+px+q=0的两根为a,b,记L1=a+b,L2=a²+b²,……Ln=aN次方+bN次方,求证：n≥3时,等式Ln+pL(n-1)+qL(n-2)=0成立
a,b为正整数且a≠b,方程(a-1)x²-（a²+2）x+（a²+2）x+(a²+2a)=0与（b-1)x²-（b²+2b)+(b²+2b)=0有一个公共根,求a的b次方+b的a次方/a的负b次方+b的负a次方 的值
x²+px+q=0的两根为a,b,记L1=a+b,L2=a²+b²,……Ln=aN次方+bN次方,求证：n≥3时,等式Ln+pL(n-1)+qL(n-2)=0成立
a,b为正整数且a≠b,方程(a-1)x²-（a²+2）x+（a²+2）x+(a²+2a)=0与（b-1)x²-（b²+2b)+(b²+2b)=0有一个公共根,求a的b次方+b的a次方/a的负b次方+b的负a次方 的值
1,把Ln,Ln-1,Ln-2代入Ln+pLn-1+qLn-2
有：a^n+b^n+p(a^(n-1)+b^(n-1))+q(a^(n-2)+b^(n-2)
=a^(n-2)(a^2+pa+q)+b^(n-2)(b^2+pb+q).
又因为：a,b是方程的解,所以(a^2+pa+q)=(b^2+pb+q)=0
所以当n>=3时,上式为零,原题得证.
2,方程一化简为：(a-1)x²+a(a+2)=0,方程二化简为：(b-1)x²=0.
当b=1时,方程2恒成立,所以方程一的任意解都是方程2的解,而当a>1时,方程一有两个解这与题目有一个公共解矛盾.所以b不等于1,此时x的解是0,那么0也是方程1的解,代入求得：a=0(舍去)或者a=-2(舍去),也不成立,因为a是正整数,所以最后结论是第二题要么你出的是错的,要么就无解.
有：a^n+b^n+p(a^(n-1)+b^(n-1))+q(a^(n-2)+b^(n-2)
=a^(n-2)(a^2+pa+q)+b^(n-2)(b^2+pb+q).
又因为：a,b是方程的解,所以(a^2+pa+q)=(b^2+pb+q)=0
所以当n>=3时,上式为零,原题得证.
2,方程一化简为：(a-1)x²+a(a+2)=0,方程二化简为：(b-1)x²=0.
当b=1时,方程2恒成立,所以方程一的任意解都是方程2的解,而当a>1时,方程一有两个解这与题目有一个公共解矛盾.所以b不等于1,此时x的解是0,那么0也是方程1的解,代入求得：a=0(舍去)或者a=-2(舍去),也不成立,因为a是正整数,所以最后结论是第二题要么你出的是错的,要么就无解.