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设点P（x,y）是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的动点 （1）求x+2y的取值范围

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/23 18:09:53
设点P（x,y）是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的动点 （1）求x+2y的取值范围
设点P（x,y）是椭圆x^2/4+y^2/3=1上的动点
（1）求x+2y的取值范围
（2）过点Q（2√3,0）作倾斜角为α的直线与椭圆x^2/4+y^2/3=1相交于不同的两点M,N,求︱QM︱.︱QN︱的取值范围
x^2/4+y^2/3=1
1参数方程 a=2,b=√3
x=2cosu
y=√3sinu
x+2y=2cosu+2√3sinu=4sin(u+π/6)
-1≤sin(u+π/6)≤1
-4≤x+2y≤4
2
MN直线方程： y=k(x-2√3) k=tana M(x1,y1) N(x2,y2)
3x^2+4y^2-12=0
3x^2+4k^2(x-2√3)^2-12=0
(3+4k^2)x^2-16√3k^2x+48k^2-12=0
x1+x2=16√3k^2/(3+4k^2)
x1x2=(48k^2-12)/(3+4k^2)
|QM|^2=(x1-2√3)^2+y1^2=(x1-2√3)^2+k^2(x1-2√3)^2=(k^2+1)(x1-2√3)^2
|QN|^2=(x2-2√3)^2+y2^2=(x2-2√3)^2+k^2(x2-2√3)^2=(k^2+1)(x2-2√3)^2
|QM||QN|=(k^2+1)|(x1-2√3)(x2-2√3)|=(k^2+1)|x1x2-2√3(x1+x2)+12|
=(k^2+1)|[(48k^2-12)-96k^2]/(3+4k^2) +12|
=(k^2+1)*24/(3+4k^2)
=24*(k^2+1)/(3+4k^2)
k^2+1=(tana)^2+1=1/(cosa)^2
3+4k^2=3+4(tana)^2=4+4(tana)^2-1=4/(cosa)^2-1
(k^2+1)/(3+4k^2)=1/[4-(cosa)^2]
|QM|*|QN|=24*(k^2+1)/(3+4k^2)=24/[4-(cosa)^2]
0≤(cosa)^2≤1
24/5≤|QM|*|QN|≤6
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