作业帮题目是X的Y次方等于Y的X次方.求Y导数.
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 17:17:51
题目是X的Y次方等于Y的X次方.求Y导数.
书上的答案是x^y=y^x 两边取自然对数得 ylnx=xlny 两边对x求导得 y'lnx+y/x=lny+x/yy' y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y).
我想问取对数后如果写成lnx/x=lny/y,再两边对x求导的时候为什么算出的结果不一样!
书上的答案是x^y=y^x 两边取自然对数得 ylnx=xlny 两边对x求导得 y'lnx+y/x=lny+x/yy' y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y).
我想问取对数后如果写成lnx/x=lny/y,再两边对x求导的时候为什么算出的结果不一样!
按照你的写法：lnx/x=lny/y
求导：(1-lnx)/x^2=[(1-lny)/y^2]*y'
得：y'=(1-lnx)y^2/(1-lny)x^2
=y(y-ylnx)/x(x-xlny)
=(y/x)*[(y-ylnx)/(x-xlny)]①
按答案的结果：y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y)
分子分母同乘xy,得：y'=(xylny-y^2)/(xylnx-x^2)
=(y/x)*[(xlny-y)/(ylnx-x)]
=(y/x)*[(y-xlny)/(x-ylnx)]②
①式与②式的区别在于(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)
因为x^y=y^x,而由对数的性质：ylnx=lnx^y,xlny=lny^x,
所以：ylnx=xlny,
也就是说(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)其实是相等的,
所以①式与②式是相等的；
所以两种做法其实是一样的,都可以采用.
求导：(1-lnx)/x^2=[(1-lny)/y^2]*y'
得：y'=(1-lnx)y^2/(1-lny)x^2
=y(y-ylnx)/x(x-xlny)
=(y/x)*[(y-ylnx)/(x-xlny)]①
按答案的结果：y'=(lny-y/x)/(lnx-x/y)
分子分母同乘xy,得：y'=(xylny-y^2)/(xylnx-x^2)
=(y/x)*[(xlny-y)/(ylnx-x)]
=(y/x)*[(y-xlny)/(x-ylnx)]②
①式与②式的区别在于(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)
因为x^y=y^x,而由对数的性质：ylnx=lnx^y,xlny=lny^x,
所以：ylnx=xlny,
也就是说(y-ylnx)/(x-xlny)与(y-xlny)/(x-ylnx)其实是相等的,
所以①式与②式是相等的；
所以两种做法其实是一样的,都可以采用.