方程组❶2x+y=z-1,❷8x³+y³=z²-1的正整数解(
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/14 00:49:11
方程组❶2x+y=z-1,❷8x³+y³=z²-1的正整数解(x,y,z)是________.
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所有整数解为(1,0,3),(1,3,6),(0,-1,0),(0,2,3)和所有类似(n,-2n,1)形式的无穷多组.
正整数解仅有1,3,6一组.
方程组 2x+y=z-1 ①,8x³+y³=z²-1 ②
根据①,可得 2x+y+2=z+1
所以z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)
而8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)
所以(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)
即(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0.
(1)若2x+y=0,则代入①,得z=1,确实也满足②,所以有无穷多组(n,-2n,1)(n为整数),经验证符合条件.
(2)若2x+y‡0,则必须4x²+y²-2xy-2x-y-2=0,
消去xy交叉项,得3x²+(x-y)²-3x+(x-y)=2,
乘以4,得3(4x²-4x)+4(x-y)²+4(x-y)=8,
加4后配方,得3(2x-1)²+(2x-2y+1)²=12.
因为2x-1和2x-2y+1都是奇数,所以只能是3×1²+3²=12.
考虑到正负号的组合,共计如下四种情况:
2x-1=1,2x-2y+1=3,得(x,y,z)=(1,0,3),经验证符合条件.
2x-1=1,2x-2y+1=-3,得(x,y,z)=(1,3,6),经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=3,得(x,y,z)=(0,-1,0),经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=-3,得(x,y,z)=(0,2,3),经验证符合条件.
综上所述,我们已经无遗漏地求出了所有满足方程组的整数解,收工.
所有整数解为(1,0,3),(1,3,6),(0,-1,0),(0,2,3)和所有类似(n,-2n,1)形式的无穷多组.
正整数解仅有1,3,6一组.
方程组 2x+y=z-1 ①,8x³+y³=z²-1 ②
根据①,可得 2x+y+2=z+1
所以z²-1=(z-1)(z+1)=(2x+y)(2x+y+2)
而8x³+y³=(2x+y)(4x²+y²-2xy)
所以(2x+y)(4x²+y²-2xy)=(2x+y)(2x+y+2)
即(2x+y)(4x²+y²-2xy-2x-y-2)=0.
(1)若2x+y=0,则代入①,得z=1,确实也满足②,所以有无穷多组(n,-2n,1)(n为整数),经验证符合条件.
(2)若2x+y‡0,则必须4x²+y²-2xy-2x-y-2=0,
消去xy交叉项,得3x²+(x-y)²-3x+(x-y)=2,
乘以4,得3(4x²-4x)+4(x-y)²+4(x-y)=8,
加4后配方,得3(2x-1)²+(2x-2y+1)²=12.
因为2x-1和2x-2y+1都是奇数,所以只能是3×1²+3²=12.
考虑到正负号的组合,共计如下四种情况:
2x-1=1,2x-2y+1=3,得(x,y,z)=(1,0,3),经验证符合条件.
2x-1=1,2x-2y+1=-3,得(x,y,z)=(1,3,6),经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=3,得(x,y,z)=(0,-1,0),经验证符合条件.
2x-1=-1,2x-2y+1=-3,得(x,y,z)=(0,2,3),经验证符合条件.
综上所述,我们已经无遗漏地求出了所有满足方程组的整数解,收工.
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