作业帮解一微分方程,谢谢
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/16 11:40:43
解一微分方程,谢谢
dy/dx =xy/(x^2-y^2)
=1/(x/y-y/x)
令y/x=t
∴dy/dx=dt
∴原式化为
dt=1/(1/t-t)
(1/t-t)dt=1
dt/t -tdt=1 积分得
lnt -t^2/2 =t+C
这里你自己去用y/x=t代回还原吧
再问： dy/dx不是dt吧
再答： 果然，我没有注意这些细节，都这么久了，你解出来了？
再问： 还没有呢
再问： 卡住了，解出来是个隐函数
再答： 我还是设y/x=t
y=xt
dy=tdx+xdt
dy/dx=xy/(x^2-y^2)
(x^2-y^2)dy=xydx
(x^2-x^2t^2)(tdx+xdt)=x^2tdx
(1-t^2)(tdx+xdt)=tdx
tdx+xdt-t^3dx-xt^2dt=tdx
x(1-t^2)dt=t^3dx
(1-t^2)dt/t^3=dx/x
dt/t^3-dt/t=dx/x
-1/t^2 -lnt =lnx+C 这里代回来
再问： 对
再问： 我也是这儿，然后要解出y关于x的函数
再答： 你就做到这里吗
积分结果是-1/2t^2-lnt=lnx+C 这里代回来
再问： 就是哇，结果可以是隐函数的嘛
再答： -x^2/2y^2-ln(y/x)=lnx+C
-x^2/2y^2=lnx+ln(y/x)+lnC
=lnCy
e^(-x^2/2y^2)=Cy
y=Ce^(-x^2/2y^2) 是不是这个结果？？？？？
=1/(x/y-y/x)
令y/x=t
∴dy/dx=dt
∴原式化为
dt=1/(1/t-t)
(1/t-t)dt=1
dt/t -tdt=1 积分得
lnt -t^2/2 =t+C
这里你自己去用y/x=t代回还原吧
再问： dy/dx不是dt吧
再答： 果然，我没有注意这些细节，都这么久了，你解出来了？
再问： 还没有呢
再问： 卡住了，解出来是个隐函数
再答： 我还是设y/x=t
y=xt
dy=tdx+xdt
dy/dx=xy/(x^2-y^2)
(x^2-y^2)dy=xydx
(x^2-x^2t^2)(tdx+xdt)=x^2tdx
(1-t^2)(tdx+xdt)=tdx
tdx+xdt-t^3dx-xt^2dt=tdx
x(1-t^2)dt=t^3dx
(1-t^2)dt/t^3=dx/x
dt/t^3-dt/t=dx/x
-1/t^2 -lnt =lnx+C 这里代回来
再问： 对
再问： 我也是这儿，然后要解出y关于x的函数
再答： 你就做到这里吗
积分结果是-1/2t^2-lnt=lnx+C 这里代回来
再问： 就是哇，结果可以是隐函数的嘛
再答： -x^2/2y^2-ln(y/x)=lnx+C
-x^2/2y^2=lnx+ln(y/x)+lnC
=lnCy
e^(-x^2/2y^2)=Cy
y=Ce^(-x^2/2y^2) 是不是这个结果？？？？？