已知a＞0,函数f(x)=｜x-2a｜/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

已知a＞0,函数f(x)=｜x-2a｜/(x+2a)在区间[1,4]上的最大值等于1/2,则a的值

由于函数中带有绝对值,必须分类讨论.1.首先讨论x-2a恒大于零或恒小于零的情况.    1）x-2a在区间[1,4]上恒大于零.
            x-2a>0,解得a<x/2;
            当x取1时,可满足x-2a在区间[1,4]上恒大于零,即            a<1/2
            此时原函数变为f(x)=(x-2a)/(x+2a),变换为：            f(x)=1-4a/(x+2a),可知该函数在该定义域上为增函数,在x=4时,取到最大值,此时:
            a=2/3
            由于不满足a<1/2的假设,所以舍去.
    2)x-2a在区间[1,4]上恒小于零.
            x-2a<0,解得a>x/2;
            当x取4时,可满足x-2a在区间[1,4]上恒小于零,即
            a>2
            此时原函数变为f(x)=-(x-2a)/(x+2a),变换为：
            f(x)=4a/(x+2a)-1,可知该函数在该定义域上为减函数,在x=1时,取到最大值,此时：
            a=3/2
            由于不满足a>2的假设,所以舍去.
2.讨论x-2a在该区间上既大于零有小于零的情况.    由前面讨论可知,当1/2<a<2时,x-2a在该区间上既有大于零时又有小于零时,    1）当x<2a时,x-2a<0.此时函数变为
        f(x)=4a/(x+2a)-1        可知该函数在[1,2a)时为减函数,在x=1时,取到最大值.
    2）当x>2a时,x-2a>0.此时函数变为
        f(x)=1-4a/(x+2a)
        可知函数在(2a,4]时为增函数,在x=4时,取到最大值.
    总之,此时函数在该区间上先减后增.在端点处取到最大值.
    1）函数在x=1处取到最大值.
        可解得a=3/2.
        此时函数变为：f(x)=|x-3|/(x+3)
        将函数的另一个最大值点x=4带入得：
        f(4)=1/7.
        因为f(1)>f(4),所以满足条件.
matlab函数:>> syms x;>> y=sym(abs(x-3)/(x+3));>> ezplot(y)>> axis([1,4,0,1])>> subs(y,'x','1')ans = 1/2>> subs(y,'x','4')ans = 1/7    2）函数在x=4处取到最大值.        可解得a=2/3.        此时函数变为：f(x)=|x-4/3|/(x+4/3)        将函数的另一个最大值点x=1带入得:        f(1)=1/7.        因为f(1)<f(4),所以满足条件.matlab函数:>> syms x;>> y=sym(abs(x-4/3)/(x+4/3));>> ezplot(y)>> axis([1,4,0,1])>> subs(y,'x','4')ans = 1/2>> subs(y,'x','1')ans = 1/7总之,a=2/3或a=3/2