设函数f（x）是实数集R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 09:28:46

设函数f（x）是实数集R上的增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．
（Ⅰ）判断并证明F（x）在R上的单调性；
（Ⅱ）若F（a）+F（b）＞0，求证：a+b＞2．

解；（Ⅰ）F（x）在R上是增函数，现证明如下：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
F（x₁）-F（x₂）=[f（x₁）-f（2-x₁）]-[f（x₂）-f（2-x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]；
∵f（x）是实数集R上的增函数，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）＜0，由x₁＜x₂，得-x₁＞-x₂，∴2-x₁＞2-x₂，∴f（2-x₁）＞f（2-x₂），∴f（2-x₂）-f（2-x₁）＜0，
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（2-x₂）-f（2-x₁）]＜0；即F（x₁）＜F（x₂）；∴F（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）证明：∵F（a）+F（b）＞0，∴F（a）＞-F（b）；
由F（x）=f（x）-f（2-x）知，-F（b）=-[f（b）-f（2-b）]=f（2-b）-f（b）=f（2-b）-f[2-（2-b）]=F（2-b），∴F（a）＞F（2-b）；
又F（x）是实数集R上的增函数，所以a＞2-b，即a+b＞2．

设函数f（x）是实数集R上的单调增函数，令F（x）=f（x）-f（2-x）．设函数f x是实数R上的增函数令f x=f x-f（ 2-x） 1,求证f x在R上是增函数 2,若f （x1）+f（设函数f(x)是实数集R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x) 证明F（x）在R上是增函数设f(x)是定义在实数集R上的函数,且满足f(1)=-1/2,f(2)=-1/4,f(x+2)-f(x+2）f(x）-f 设函数f(x)是（0,正无穷）上的增函数,令F（x)=f(x)-f(1/x) 完整设f（x）是定义在实数集R上的函数,且满足f（-x）=f（x）,f（x）在区间（-∞,0]上是增函数,并且f（2a& 设f(x)是定义在R上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y),若f（3）=1,求不等式f（x）-f（x-2）＞1的解集设f（x）是R上的函数,且满足f（0）=1,并且对任意实数x,y,有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1）,求f（x 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，求解不等式f（x）+f（x-2）＞1．设函数f(x)是定义在R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(2-x) (1) 求证：F(x)是R上的增函数； (2) 设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f（1-x）=x2-3x+3．已知:f(x)是定义在R上的增函数,令F(x)=f(x)-f(a-x) 证明:y=F(x)的图像关于点（a/2,0）成中