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在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8

来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/21 16:34:44
在三角形ABC中,A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知面积S = a的平方 － (b －c)的平方,且b＋c = 8.
求：（1）cosA 的值；
（2）面积S 的最大值.
（1）
S ＝ a² － ( b － c)²
＝ a² － ( b² ＋ c² － 2bc)
＝ a² － b² － c² ＋ 2bc
而 S ＝ (1/2) × bc sinA
∴ a² － b² － c² ＋ 2bc ＝ (1/2) × bc sinA
∴ b² ＋ c² － a² ＝ 2bc － (1/2) × bc sinA
（很微妙,上式的左边是不是 与 cosA 有关?）
cosA ＝ (b² ＋ c² － a²) / 2bc
＝ 2bc － (1/2) × bc sinA / 2bc
＝ 1 － (1/4) × sinA

上式两边平方,得：
cos²A ＝ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA
而 cos²A ＝ 1 － sin²A
∴ 1 ＋ (1/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 1 － sin²A
∴ (17/16) sin²A － (1/2)sinA ＝ 0
∴ sinA ＝ 0 （舍） 或 sinA ＝ 8/17
∴ 由cos²A ＝ 1 － sin²A 得：
cosA ＝ ± 15/17
而由 cosA ＝ 1 － (1/4) × sinA 知 cosA ＞ 0
∴ cosA ＝ 15/17
（2）
S ＝ (1/2) × bc sinA

＝ (1/2) × sinA × bc
＝ (4/17) × bc
欲求面积S 的最大值,只需求bc 的最大值.
由 (b ＋ c)² ≥ 4bc 知:
bc ≤ (b ＋ c)²/4 ＝ 8²/4 ＝ 16
∴ S ＝ (4/17) × bc ≤ (4/17) × 16 ＝ 64/17
即：面积S 的最大值为64/17.
祝您学习顺利!
在三角形ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若其面积为S且满足4s-b的平方=(a加c)(a-c),则c等于多 在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b的平方=ac且cosB=3/4 在三角形ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c且（a+b+c)（b+c-a)=3bc. 在三角形ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c ,已知a的平方减b的平方=2b, 在三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,以知abc成等比数列,且a的平方-C的平方=a*C-b*c求(bs 在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a、b、c是S三角形的面积,4S且等于的平方加的平方减的平方,则角C... 设a、b、c分别为三角形ABC内角A、B、C的对边,且a平方=b（b+c）,求证A=2B 设在三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a的平方－c的平方＝2b,且sinAcosC=cosAsi 已知三角形ABC的三边长分别为a,b,c且满足关系式a平方+b平方+c平方+50=6a+8b+10c, 在三角形ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,已知a、b、c满足b的平方等于a乘c,且a的平方减b的平方等... 在三角形ABC中,a b c分别是角A B C所对边地长,已知三角形ABC的面积S=a平方-(b-c)平方 在三角形ABC中,角A.B.C的对边分别为a.b.c.已知a+b=5 c=根7,且4sin的平方 乘以A+B/2减cos