二面角的平面角及求法!

二面角的平面角及求法!
在三棱柱ABC-A1B1C1中,H是正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H⊥平面AA1B1B,且 C1H=5．
（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A-A1C1-B1的正弦值；
（Ⅲ）设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B内,且MN⊥平面A1B1C1,求线段BM的长．

方法一：如图所示,建立空间直角坐标系,点B为坐标原点．
依题意得 A(22,0,0),B(0,0,0),C(2,-2,5)A1(22,22,0),B1(0,22,0),C1(2,2,5)
易得 AC→=(-2,-2,5),A1B1→=(-22,0,0),
于是 cos〈AC→,A&1B1→＞=AC→•A1B1→|AC→|•|A1B1→|=43×22=23,
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．
（II）易知 AA1→=(0,22,0),A1C1→=(-2,-2,5)．
设平面AA1C1的法向量 m→=（x,y,z）,
则 {m→•A1C1→=0m→•AA1→=0即 {-2x-2y+5z=022y=0.
不妨令 x=5,可得 m→=(5,0,2),
同样地,设平面A1B1C1的法向量 n→=（x,y,z）,
则 {n→•A1C1→=0n→•A1B1→=0即 {-2x-2y+5z=0-22x=0.不妨令 y=5,
可得 n=(0,5,2)．
于是 cos＜m→,n→＞=m→•n→|m→||n→|=27•7=27,
从而 sin＜m→,n→＞=357．
所以二面角A-A1C1-B的正弦值为 357．
（III）由N为棱B1C1的中点,
得 N(22,322,52)．设M（a,b,0）,
则 MN→=(22-a,322-b,52)
由MN⊥平面A1B1C1,得 {MN→•A1B1→=0MN→•A1B1→=0
即 {(22-a)•(-22)=0(22-a)•(-2)+(322-b)•(-2)+52•5=0.
解得 {a=22b=24.故 M(22,24,0)．
因此 BM→=(22,24,0),所以线段BM的长为 |BM→|=104．
方法二：
由于AC∥A1C1,故∠C1A1B1是异面直线AC与A1B1所成的角．
因为C1H⊥平面AA1B1B,又H为正方形AA1B1B的中心,AA1=22,C1H=5,
可得A1C1=B1C1=3．
因此 cos∠C1A1B1=A1C12+A1B12-B1C122A1C1•A1B1=23．
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为 23．
（II）连接AC1,易知AC1=B1C1,
又由于AA1=B1A1,A1C1=A1=C1,
所以△AC1A1≌△B1C1A,过点A作AR⊥A1C1于点R,
连接B1R,于是B1R⊥A1C1,故∠ARB1为二面角A-A1C1-B1的平面角．
在Rt△A1RB1中,B1R=A1B1•sin∠RA1B1=22•1-(23)2=2143．
连接AB1,在△ARB1中,AB1=4,AR=B1R,cos∠ARB1=AR2+B1R2-AB122AR•B1R= -27,
从而 sin∠ARB1=357．
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为 357．
（III）因为MN⊥平面A1B1C1,所以MN⊥A1B1．
取HB1中点D,连接ND,由于N是棱B1C1中点,
所以ND∥C1H且 ND=12C1H=52．
又C1H⊥平面AA1B1B,
所以ND⊥平面AA1B1B,故ND⊥A1B1．
又MN∩ND=N,
所以A1B1⊥平面MND,连接MD并延长交A1B1于点E,
则ME⊥A1B1,故ME∥AA1．
由 DEAA1=B1EB1A1=B1DB1A=14,
得 DE=B1E=22,延长EM交AB于点F,
可得 BF=B1E=22．连接NE．
在Rt△ENM中,ND⊥ME,故ND2=DE•DM．
所以 DM=ND2DE=524．
可得 FM=24．
连接BM,在Rt△BFM中,BM=FM2+BF2=104．