∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 13:18:35
∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明
本题是许瓦兹不等式,不是用中值定理来证的.
以下所有积分区域均为[a→b]
构造函数g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2(b-a)t + ∫e^-f(x)dx (1)
由于定积分的结果只是一个数字,因此g(t)关于t是一个二次函数,注意到b-a=∫ 1 dx
因此得:g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2t∫ 1 dx + ∫e^-f(x)dx
=∫ [t^2e^f(x)+ 2t + e^-f(x)]dx 注意到被积函数是一个完全平方
=∫ { te^[f(x)/2] + e^[-f(x)/2] }^2 dx
≥0
因此g(t)是一个恒≥0的二次函数,因此判别式Δ≤0
对照(1)式写出判别式:
4(b-a)² - 4∫e^f(x)dx∫e^-f(x)dx ≤ 0
整理后即为:∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2,证毕.
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
以下所有积分区域均为[a→b]
构造函数g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2(b-a)t + ∫e^-f(x)dx (1)
由于定积分的结果只是一个数字,因此g(t)关于t是一个二次函数,注意到b-a=∫ 1 dx
因此得:g(t)=t^2∫e^f(x)dx + 2t∫ 1 dx + ∫e^-f(x)dx
=∫ [t^2e^f(x)+ 2t + e^-f(x)]dx 注意到被积函数是一个完全平方
=∫ { te^[f(x)/2] + e^[-f(x)/2] }^2 dx
≥0
因此g(t)是一个恒≥0的二次函数,因此判别式Δ≤0
对照(1)式写出判别式:
4(b-a)² - 4∫e^f(x)dx∫e^-f(x)dx ≤ 0
整理后即为:∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2,证毕.
若有不懂请追问,如果解决问题请点下面的“选为满意答案”.
∫e^f(x)dx+∫e^-f(x)dx≥(b-a)^2 积分号后面都是a到b 用积分中值怎么证明
关于积分中值定理从a到b积分,∫xf(x)dx=εf(ε)(b-a),∫xf(x)dx=f(ε)∫xdx,(积分的上下限
定积分证明题:f(x)在闭区间a到b上连续,求证:,∫b到a f(x)dx=,∫b到a f(a+b-x)dx
证明(f(x)dx的积分,-a
大学数学选择题与连续函数f(x)=lnx+积分1到e f(x)dx-f'(1)等价的函数是A:e^ln(lnx)B:ln
利用定积分证明等式∫f(x)dx=(b-a)∫f[a+(b-a)x]dx,其中b>a,f(x)连续,等号前的积分区是(b
下列无穷积分收敛的是 A ∫sinx dx B ∫e^-2x dx C ∫1/x dx D∫1/√x dx
证明∫xf(sin x)dx=π/2∫f(sin x)dx 积分区间都是0到π
高数定积分,设f(x)=lnx-∫1→e f(x)dx,证明:∫1→e f(x)dx=1/e
积分 ∫(e^x)/(x+2)dx
求广义积分 ∫(0到正无穷)e^(-x)(cos ax-cos bx)/x dx ,b>a>0.
(高数证明题)f(x)在〔a,b〕上连续,证明∫f(x)dx=(b-a)∫f〔a+(b-a)x〕dx 注:所有∫(积分下