请大家帮我解释一下下面这道题的答案.我没有看懂他那两个式子为什么就能等于零.这道题使用泰勒公式做的

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 23:23:24

请大家帮我解释一下下面这道题的答案.我没有看懂他那两个式子为什么就能等于零.这道题使用泰勒公式做的
设f﹙x﹚＝x－(ax+bsinx)cosx,并设lim(x→0) f(x)／X5(五次方)存在且不为零,求a,b的值?
解：sinx=x－﹙1／3!﹚X3＋﹙1／5!﹚X5＋o′(X6);
cosx=1－﹙1／2!﹚X2＋﹙1／4!﹚X4＋o″(X5)；
所以有
f(x)＝x－[ax＋b﹙x－﹙1／3!﹚X3＋﹙1／5!﹚X5＋o′(X6)﹚]·[1－﹙1／2!﹚X2＋﹙1／4!﹚X4＋o″(X5).]
＝[1－﹙a＋b﹚]·X＋[4b／3!＋a／2!] ·X3＋[b／5!＋b／3!2!＋﹙a﹢ b﹚／4!]·X5＋o(X5).
由题设
lim(x→0) f(x)／X5(五次方)存在且不为零
所以

1－﹙a＋b﹚＝0,
4b／3!＋a／2!＝0 所以解得,a=4,b=－3
以上为此题答案,X3表示三次方,X5表示五次方.o(X5)表示高阶无穷小.
我不明白,为什么
1－﹙a＋b﹚＝0,
4b／3!＋a／2!＝0 等于零?o″(X5)和o′(X6).在sinx和cosx中为什么会是等于o(X5)?

由题设
lim(x→0)f(x)／X5(五次方)存在且不为零
所以
两边除以x5再求极限,由于极限存在,所以右边前两项的分母上不能有x,否则没有极限,故系数应为0
0=lim(x→0)[oX6)/x6]=1/6* lim(x→0)[o′(X6)/x5]=0,所以o′(X6)= o(X5)
感觉o″(X5)应该是多了一个撇
再问：是不是因为，如果等式两边除以X5后，得到等式[1－﹙a＋b﹚]／X4＋[4b／3!＋a／2!] ／X＋[b／5!＋b／3!2!＋﹙a﹢ b﹚／4!]＋o(X5)／X5.此时，当x→0时，前两项分母等于零，式子没有意义。所以极限不存在，与题设矛盾，所以，系数项才不许为零，才会有极限存在？？
再答：是啊，反证法的思想
再问：哦！谢谢你! 我还有一个地方不太懂，这里边的sin和cos是用佩亚诺余项泰勒公式展开的，但是sin后边是o（X6）高阶无穷小，cos后面是o（X5）高阶无穷小。为什么带入到f(x)的那个等式里边，就都变都成了o（X5）了？？
再答： lim(x→0)[ (x^n)*o(x5)/x5]=0 所以 (x^n)*o(x5)= o(x5)

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