还是一道高数题,希望你能给予详细过程,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 03:20:40

还是一道高数题,希望你能给予详细过程,
要做一个容积为R³的长方体无盖水池,应如何选择长方体的长、宽、高,才能使它的表面积最小.

本题是条件极值问题.
设长、宽、高分别为x,y,z,则条件为 xyz-R^3=0,构造拉格朗日函数
S=xy+2xz+2yz+λ(xyz-R^3),
S'=0,y+2z+λyz=0 (1)
S'=0,x+2z+λxz=0 (2)
S'=0,2x+2y+λxy=0 (3)
S'=0,xyz-R^3=0 (4)
因系实际问题,x与y地位完全相同,必相等,联立(1)(2)(3)(4)解得
λ=-2^{5/3)/R,x=y=2^(1/3)R,z=2^(-2/3)R ,此时其表面积最小.

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