电学中的误差分析：电表导致的电路中测量值与真实值的差异，画坐标图时常见的问题。

电学中的误差分析：电表导致的电路中测量值与真实值的差异，画坐标图时常见的问题。
总是分析不清

解题思路： 电流表与电压表的使用涉及到电流表的内接与外接问题，从而也就牵涉到电学实验的精确问题，分析不同电路、不同接法的情况，得出误差的结论。
解题过程：
电学中的误差分析：电表导致的电路中测量值与真实值的差异，画坐标图时常见的问题。 伏安法测量实验中的误差分析 伏安法是高中物理电学实验中的一种非常重要的方法和实验思想。它以欧姆定律为原理，以伏特表（直流电压表）和安培表（直流电流表）为工具，向学生们提供了一种在测量电路中的一些重要电器元件的电学性质时的最为广泛使用、也最为行之有效的方法。同时，在高中电学中以伏安法为核心方法的一系列的测量实验的教学意义和考试价值也非常重大。这一组实验不仅在理论上覆盖了了稳恒电流一章中最核心的两个定律：部分电路的欧姆定律和全电路的欧姆定律，同时还涵盖了对电流表和电压表的使用的研究和学习、对电路中滑动变阻器的两种连接方式的讨论等等极其重要的知识及考点。但是在考试里被涉及最多、同时也是学生最难以透彻理解和记忆的知识点，则是在这些实验中，电流表的内外两种接法给实验结果带来的误差。本文便是希望能够通过对这样的一个问题的系统地介绍和分析，最终能够用更加直观和透彻的方式解释清楚在这些实验中电流表的两种接法所带来的实验误差的规律、特性以及理论原因。 在高中阶段，伏安法的测量实验主要由三个实验组成：伏安法测电阻实验、绘制小电珠（小灯泡）的伏安特性曲线实验、以及伏安法测电源的电动势及内阻实验。其中前两个实验的原理都是部分电路的欧姆定律（U=I·R），而最后一 个实验的原理是全电路的欧姆定律（E=U+I·R）。在只研究本文所关注的“电流表的接法问题对实验结果的影响”这一问题时，前两个实验从实质上来说是等价的。因此为了避免重复叙述，本文将只对“伏安法测电阻”和“伏安法测电源的电动势及内阻”这两个实验中由电流表的不同接法所产生的误差进行详细的分析与介绍。 I、 内、外接法的介绍 在电学实验中利用伏安法测量电阻阻值和电源电动势和内阻的原理都是欧姆定律。其区别主要在于前者是利用部分电路的欧姆定律，只研究单一的电阻两端的电压和其中的电流之间的关系，从而得到电阻的阻值与伏安特性曲线；而后者是利用全电路的欧姆定律，来研究整个电路的路端电压（外电压）和干路电流之间的关系，从而得到电源的电动势及内阻以及一条关于电源的UI图像。而正是这样的研究目的和研究对象的区别，给两个实验的电路图、电表所接位置、以及在实验中对电流表的内外接法的定义带来了一定的差异。其中，对在两个实验中电路内、外接法的辨识成为了这块内容的第一个难点和易错点。于是，对“内、外接法”的真实概念的分析与介绍，即是本文将要首先解决的问题。 首先我们应当明白的是在伏安法测量实验中产生“内、外接”两种不同电路的原因。在用伏安法测量电器元件的电学特性时，我们的核心思想都是希望能够直接研究该元件两端的电压和其中的电流的关系，实现方式都是通过直接对和用电器并联的电压表及和用电器串联的电流表的读数进行记录并加以分析。在这个时候，并联电表和串联电表之间将会出现一个联入电路的先后顺序问题。是先将电流表和待测元件串联之后再与电压表并联（图一），还是先将电压表与之并联之后再与电流表串联（图二），最后产生的电路结构是完全不同的。因此我们发现，电路的不同接法的产生原因，实质上来自于两个电表接入电路的顺序所造成的电路结构的异同。 那么在了解了不同接法产生的原因后，其次我们应当弄清的是如何去界定何者为内、何者为外。一般来说，“内、外接法”是以电流表在电路中的相对位置作为判断标准来界定的。当电流表处在我们所研究的部分电路内部，测得的是真实的流经待测元件的电流大小时，我们即认为该电路采用的是内接法；反之则为外接。在描述了伏安法测电阻实验电路的图一图二中我们可以明显地看到，图一中的电流表处在由电阻和电压表所构成的部分电路内部，直接和待测电阻串联，其读数直接反映出了待测电阻中电流的真实值，因此为“内接法”；而图二中的电流表明显处于该部分电路的外部，并未和待测电阻直接串联，因而其测量值也并不能反映流经待测电阻的电流的真实大小，所以为“外接法”。 图3 图4 在伏安法测电阻的实验中，“内、外接法”还是比较容易区分的，在教学过程中学生犯错的可能性也并不大。可是到了伏安法测电源的电动势及内阻的实验中，这个最基本的判断也往往成为会被学生们混淆的易错点。如图三、图四所示的两个电路图，则是在伏安法测电源电动势和内阻的实验中的两种不同接法所对应的图示。在辨析内外接法的过程中，学生常做的一种错误思考即是将直接将之与图一图二类比，认为图三和图一结构相似，因此采用的是内接法；而图四与图二表象一致，因此采用的是外接法。这样的错误是由于对“内、外接法”定义认识不够到位所产生的。在前文中已经说明，“内、外接”中的内和外，是以电流表在电路中的相对位置作为标准来判定的。另外，电流表是否直接与待测元件相串联，其读数是否直接真实的反映了该元件内部所通过的电流值也是“内、外接”的判断标准。无论以哪种方式来判定，我们发现其核心的元素都只有电流表和待测元件这两者。在伏安法测电阻的实验中待测元件是电阻，而在伏安法测电源的电动势及内阻的实验中，待测元件却转变为了电源。因此在这个实验中电流表的“内外”，便是应当以电源作为参照来界定了。在有了这一理解之后，我们不难发现，真正的内接法的图示应当是图四，而图三对应的则是这个实验中的外接法的电路图。 对这两个实验、四个电路图的分析给我们提供了三个不同的用来区分内、外接法的角度和方法。首先从电路结构上来分析，内外接法的界定标准是：电流表在电路中相对于待测元件和电压表所构成的部分电路的位置。在部分电路内部即为内接，在部分电路的外部即为外接。这是“内、外接”的原初定义，也是我们最常用的判断方式；其次，从电路联接顺序、即两种不同接法产生的原因上来看，对于待测元件、电流表、电压表三者而言，内接法意味着先串联再并联，外接法则意味着先并联再串联；最后从产生的实际效果来看，采用内接法时，由于电流表永远直接和待测元件串联，因此其中的示数永远和待测元件中流经的电流的真实值相同；而采用外接法时，电流表示数和元件内部电流值之间必然会存在着一定的误差。在透彻地理解和掌握了这三种判断方式后，相信在两个不同实验中对内外两种接法的判断不会再成其为困扰学生的难点。 在扫清了这个障碍之后，接下来我们将对这两个实验中由电表内阻和电路的不同接法产生的系统误差进行分析和阐述。 II实验一 伏安法测电阻 结合图1和图2我们可以来具体地研究在伏安法测电阻实验中内外两种接法所带来的影响和误差。 1、 内接法 图1为在此实验中电流表内接法对应的电路。我们需要测量的是通过待测电阻的电流Ix和待测电阻两端的电压Ux。由前文分析得知，在内接法中，电流表测出的电流值I等于电阻中电流的真实值Ix，而电压表测出的电压U却是电阻两端电压U_x和电流表两端电压U_A之和。由此可以看出，在采用内接法进行本实验的过程中，由于电流表的内阻不为零，使电压的测量产生了误差。具体数据分析如下： 测量值 ， 实际值 因而在内接法时测量值较真实值偏大，同时可计算出相对误差： （1） 2、外接法 图2为在此实验中电流表外接法对应的电路。我们需要测量的同样是通过待测电阻的电流Ix和待测电阻两端的电压Ux。由前文分析得知，在外接法中，电流表测出的电流值I不再等于电阻中电流的真实值Ix，而等于电阻中电流I_x与电压表中所流过的电流I_U之和；而此时电压表测出的电压U却等于电阻两端电压U_x。由此可以看出，在采用外接法进行本实验的过程中，是由于电压表的内阻不为无穷大，使电流的测量产生了误差。具体数据分析如下： 测量值 ， 实际值 故而在外接法时测量值较真实值偏小。 又由于：I_x=U/R_x ，I_U=U/R_V， 相对误差也可由下式算出： （2） 3、 两种接法的选择 接法的选择的唯一目的或是唯一判断标准，便是尽可能地减小乃至消除误差。 在内接法时，系统误差是由电流表的内阻不为零带来的电压表的测量值不准（偏大）所造成的，因此其相对误差由电流表内阻和待测电阻之比决定，如（1）式所示； 在外接法时，系统误差是由电压表的内阻不为无穷大带来的电流表的测量值不准（偏小）所造成的，因此其相对误差大致是由待测电阻和电压表内阻之比决定，如（2）式所示。 很明显的，当电流表和电压表的内阻均为定值时，我们只用观察待测电阻R的阻值更接近于哪个电表，即可判断出在该情况下更加理想的接法： 若电阻阻值偏小，接近电流表内阻，则不应选择因电流表内阻不为零带来的误差，因而选用外接法；若电阻阻值较大，较接近电压表内阻，则不应选择电压表内阻不为无穷大所带来的误差，因而选用内接法。 若要等到更加详细的数据结果，则需进行如下的计算： 先假设当两种电路误差相等时，待测电阻阻值为R0。由（1）（2）式可得： 于是 R₀² —R_AR₀—R_AR_V=0 解得 R₀= 因为待测电阻只能取正值，故有 R₀= （3） 在两表内阻确定的情况下，只需比较R和R₀间的大小关系即可决定接法： 当R > R₀时，应当选用内接法；当R < R₀时，应当选用外接法。 III 实验二 伏安法测电源的电动势及内阻 1． 内接法 电流表内接，电路图如图3所示。 图3 我们可以用两种方式来分析此法测量带来的误差： （1）U-I图结合UI函数的截距式分析： 由全电路欧姆定律E = U+I·r得： 对于一次的U-I函数：U=E-I·r而言，其图像必为一条不过原点的、斜率为负的直线，其与U轴、I轴有两个交点。其中与U轴交点坐标即I等于0时U所取到的值，即为电源电动势E；该直线的斜率的绝对值，即图像与U轴和与I轴的两个截距的比值，即为电源内阻r。因此将此函数写成一次函数的截距式形式，我们可以直接判断产生的误差情况： 对于未修正前的方程而言： E = U+I·r 其截距式为： 通过截距可以直接读出此时的电动势为U轴截距E，内阻为两截距之比E/(E/r)，即r；此为真实值。 而对于考虑了电表内阻，修正后的方程而言： E = U + I·r + I·R_A 其截距式为： 通过截距可以读出此时的电动势为U轴截距E，内阻为两截距之比E/(E/(r+R_A))，即（r+R_A）；此为测量值。 因而可发现，在内接法中，E_测=E_真，而r_测=r+R_A，故r_测 > r_真 。 （2）取两组实验数据代数分析： 若不考虑电流表内阻，由两组测量数据列出方程组，联立后所得计算结果即为测量值： 　　 　　 　　解得：， ； 若考虑电流表内阻，由两组测量数据和修正后的全电路欧姆定律列出方程组，联立后所得计算结果即为真实值： 　　解得：， ； 所以，，，即内电阻的测量值等于真实值与电流表内阻之和，测 量值大于真实值；而测电动势的测量值等于真实值。这和我们用截距式法分析得到的结果是一致的。 2、 外接法 电流表外接，电路图如图4所示： 图4 我们同样可以用两种方式来分析此法测量带来的误差： （1）U-I图结合UI函数的截距式分析： 对于未修正前的方程而言： E = U+I·r 其截距式为： 通过截距可以直接读出此时的电动势为U轴截距E，内阻为两截距之比E/(E/r)，即r；此为真实值。 而对于考虑了电表内阻，修正后的方程而言： E = U + （I+I_U·r）=U + I·r + (U/R_V)·r = U+I·r 其截距式为： 通过截距可以读出此时的电动势为U轴截距，内阻为两截距之比，此为测量值。 由于>1，因而很容易判断，在外接法中，E_测<E_真，r_测 < r_真 。 （2）取两组实验数据代数分析： 设实验过程中，滑动变阻器滑片向右端滑动，即，则，。 若不考虑电压表内电流，由两组测量数据列出方程组，联立后所得计算结果即为测量值： 解得：， ； 若考虑电压表内电流，由两组测量数据和修正后的全电路欧姆定律列出方程组，联立后所得计算结果即为真实值： 解得：，整理得： 因为所以为负值，所以。 ，整理得：，所以 所以，，，即电动势和内电阻，测量值都小于真实值。这和我们用截距式法分析得到的结果是一致的。 3、 两种电路的选择 在这个实验中，电路的选择变得比较简单。由于电源内阻往往较小，通常接近电流表内阻R_A，而远小于电压表内阻R_V。因此若使用内接法，虽然能够保证电源电动势的测量不会出现误差，但电源内阻的测量值往往会较为明显的大于真实值，出现较大的误差；而如若使用外接法，虽然电源电动势和电源内阻的测量值都与真实值不符，但由于r和R_V之间大小的悬殊，其误差往往较小，以致可被忽略。所以在伏安法测电源的电动势及内阻实验中，我们往往使用外接法来连接电路。